# Matematyka — zadanie 1

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/1
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Wskaź rysunek, na kórym przedziáwono przedziál bę̣cy zbiorem wszystkich rozwiązań nierowności -4 ≤ x ≤ 1.

/matma-quiz/images/cke/MMA-P1_1P-152/z1.png

A. przedział \((-5, 3)\) - końce otwarte
B. przedział \((-3, 5)\) - końce otwarte
C. przedział \(\langle-3, 5\rangle\) - końce zamknięte
D. przedział \(\langle-5, 3\rangle\) - końce zamknięte

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C - przedział \(\langle -3, 5 \rangle\)

## Sposób 1 - Dodanie 1 do wszystkich części nierówności

Mamy nierówność podwójną:
\[-4 \leq x - 1 \leq 4\]

**Cel:** wyizolować \(x\) w środku. Wystarczy dodać \(1\) do każdej z trzech części:
\[-4 + 1 \leq x - 1 + 1 \leq 4 + 1\]
\[-3 \leq x \leq 5\]

**Zbiór rozwiązań:** \(\langle -3, 5 \rangle\)

Końce są **zamknięte** (znaki \(\leq\)), bo \(x = -3\) i \(x = 5\) spełniają nierówność.

## Sposób 2 - Interpretacja przez wartość bezwzględną + weryfikacja

Nierówność \(-4 \leq x - 1 \leq 4\) możemy odczytać jako:
\[|x - 1| \leq 4\]

Ze wzoru na wartość bezwzględną (dział 1): \(|x - a| \leq r \iff a - r \leq x \leq a + r\)

Tutaj \(a = 1\), \(r = 4\):
\[1 - 4 \leq x \leq 1 + 4\]
\[-3 \leq x \leq 5\]

**Weryfikacja** - sprawdzamy końce:
- \(x = -3\): \(-4 \leq -3 - 1 \leq 4\) → \(-4 \leq -4 \leq 4\) ✓
- \(x = 5\): \(-4 \leq 5 - 1 \leq 4\) → \(-4 \leq 4 \leq 4\) ✓

Oba końce należą do zbioru rozwiązań → przedział **zamknięty**.

## Wzory z karty CKE

**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - nierówność z wartością bezwzględną:
\[|x - a| \leq r \iff a - r \leq x \leq a + r\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 do natychmiastowego odczytania przedziału rozwiązań.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | Przedział \((-5, 3)\) - końce otwarte i **oba złe**. Uczeń mógł odjąć 1 zamiast dodać: \(-4-1=-5\), \(4-1=3\), i do tego błędnie pominąć zamknięcie końców. |
| B | Przedział \((-3, 5)\) - **końce dobre, ale otwarte**. Uczeń poprawnie obliczył \(-3\) i \(5\), ale pomylił znaki \(\leq\) z \(<\) i narysował przedział otwarty zamiast zamkniętego. |
| D | Przedział \(\langle -5, 3 \rangle\) - końce zamknięte, ale **wartości odwrócone**. Uczeń prawidłowo użył zamkniętych końców, lecz odjął 1 zamiast dodać. |

## Typowe pułapki

> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność \(-4 \leq x - 1 \leq 4\) rozwiązujemy dodając \(+1\) do **wszystkich trzech części** jednocześnie - to jeden krok, nie dwa osobne.

> ⚠️ **Uwaga:** Znak \(\leq\) (mniejsze lub równe) oznacza **zamknięty** koniec przedziału - na rysunku to wypełnione kółko, nie puste. Pomylenie \(\leq\) z \(<\) to jeden z najczęstszych błędów w zadaniu o przedziałach.

> ⚠️ **Uwaga:** Kierunek nierówności nie zmienia się przy dodawaniu (ani odejmowaniu) tej samej liczby - zmiana następuje tylko przy mnożeniu/dzieleniu przez **liczbę ujemną**.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności dwustronnej
Do obu stron nierówności \(-4 \le x-1 \le 4\) dodajemy \(1\):
\[-4+1 \le x \le 4+1\]
\[-3 \le x \le 5.\]
Zbiór rozwiązań to przedział domknięty \(\langle-3, 5\rangle\) - końce należą do zbioru (bo nierówności są słabe, \(\le\)).

### Sposób 2 - Sprawdzenie punktów granicznych
Podstawiamy skrajne wartości do oryginalnej nierówności:
- \(x = -3\): \(-4 \le -4 \le 4\) ✓ (prawda, więc \(-3\) należy)
- \(x = 5\): \(-4 \le 4 \le 4\) ✓ (prawda, więc \(5\) należy)
- \(x = -5\): \(-4 \le -6\) ✗ (fałsz, więc \(-5\) NIE należy)
- \(x = 3\): \(-4 \le 2 \le 4\) ✓ (prawda, więc \(3\) należy, ale to nie jest koniec)

Końce \(-3\) i \(5\) - zaznaczone **pełnymi** kółkami (zamknięty przedział).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A.** Zły przedział (\(-5, 3\)) oraz końce otwarte.
- **B.** Dobre liczby (\(-3, 5\)), ale końce **otwarte** - nierówności \(\le\) wymagają **zamkniętych** końców.
- **D.** Dobre końce zamknięte, ale złe liczby (\(-5, 3\) zamiast \(-3, 5\)).

**Pamiętaj:** \(\le\) → zamalowane kółko; \(<\) → puste kółko.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1: Interpretacja nierówności i rysowanie przedziału
Nierówność -4 ≤ x ≤ 1 oznacza, że x musi być większe lub równe -4, a jednocześnie mniejsze lub równe 1. W zapisie przedziałowym to oznacza, że przedział jest zamykany od lewej strony (w tym punkcie -4) do prawej strony (w tym punkcie 1). Zatem rysunek musi mieć punkty -4 i 1 zaznaczone jako punkty końcowe przedziału.

\[ -4 \le x \le 1 \]

### Sposób 2: Rysowanie przedziału na osi liczbowej
Rysunek przedziału \[ -4 \le x \le 1 \] na osi liczbowej przedstawia przedział od -4 do 1. Oś liczbowej musi zawierać punkty -4 i 1, a przedział jest zamykany, co oznacza, że punkty te są uwzględnione w przedziale.

\[ -4 \le x \le 1 \]

📖 Karta wzorów: **s.4** - Rysunek, strona **3** (związany z rysowaniem przedziałów)

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. -5 3 x:** To nie jest prawidłowy zapis przedziału. Zaczyna się od -5, a kończy na 3, co nie odpowiada nierówności.
* **B. -3 5 x:** Podobnie jak A, to nie jest prawidłowy zapis przedziału. Zaczyna się od -3, a kończy na 5.
* **C. C -3 5 x:** To jest prawidłowy zapis przedziału, który odpowiada nierówności -4 ≤ x ≤ 1.
* **D. -5 3 x:** To nie jest prawidłowy zapis przedziału. Zaczyna się od -5, a kończy na 3.

Podsumowując, prawidłowy sposób na przedstawienie nierówności w postaci przedziału to zamykanie obu końców przedziału. W tym przypadku, przedział jest zdefiniowany jako \[ -4 \le x \le 1 \] i rysunek musi to odzwierciedlać.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/1)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F1)

## Podobne zadania

- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2024-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/6) — Zadanie 6. (0-1) Dana jest nierówność 𝑥≥-3. Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych 𝒙 spełniających tę nier
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2010/zad/2) — Zadanie 2. (1 pkt) Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej. A. 3 2 ≤ x B. 3 2 ≤ x C. 2 3 ≤ x D. 2 3 ≤ x

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_