# Matematyka — zadanie 13

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/13
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

W rosnącym ciągu geometrycznym ( an ) , określonym dla n \(\geq\) 1, spełniony jest warunek a 4 = 3 a 1 . Iloraz q tego ciągu jest równy 1 1 3

A. \(q = \dfrac{1}{3}\)
B. \(q = \dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
C. \(q = \sqrt[3]{3}\)
D. \(q = 3\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C - \(q = \sqrt[3]{3}\)

## Sposób 1 - wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

**Korzystamy ze wzoru ogólnego** na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]

Podstawiamy \(n = 4\):
\[a_4 = a_1 \cdot q^3\]

Z warunku zadania \(a_4 = 3a_1\):
\[a_1 \cdot q^3 = 3a_1\]

Dzielimy obie strony przez \(a_1\) (zakładamy \(a_1 \neq 0\), co jest konieczne dla ciągu geometrycznego):
\[q^3 = 3\]

Wyciągamy pierwiastek sześcienny:
\[q = \sqrt[3]{3}\]

**Sprawdzamy warunek rosnącości:** \(\sqrt[3]{3} \approx 1{,}44 > 1\), więc ciąg jest rosnący (dla \(a_1 > 0\) iloraz \(q > 1\) zapewnia rosnącość). ✓

## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie

Przyjmijmy dla prostoty \(a_1 = 1\) i \(q = \sqrt[3]{3}\).

Obliczamy kolejne wyrazy:
\[a_1 = 1\]
\[a_2 = 1 \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3}\]
\[a_3 = 1 \cdot \left(\sqrt[3]{3}\right)^2 = \sqrt[3]{9}\]
\[a_4 = 1 \cdot \left(\sqrt[3]{3}\right)^3 = 3\]

Sprawdzamy warunek \(a_4 = 3a_1\):
\[a_4 = 3 = 3 \cdot 1 = 3a_1 \quad \checkmark\]

Ciąg \(1,\ \sqrt[3]{3},\ \sqrt[3]{9},\ 3,\ \ldots\) jest rosnący, bo każdy wyraz większy od poprzedniego. ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]
Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1, podstawiając \(n = 4\), by wyrazić \(a_4\) przez \(a_1\) i \(q\).

**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - pierwiastek jako potęga:
\[q^3 = 3 \implies q = 3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3}\]

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | \(q = \frac{1}{3}\) - uczeń bierze \(a_4 = 3a_1\) i "odwraca", biorąc \(q = \frac{1}{3}\). Ale wtedy \(q^3 = \frac{1}{27} \neq 3\). Dodatkowo \(q < 1\) dałoby ciąg malejący, nie rosnący. |
| B | \(q = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}\) - uczeń poprawnie rozwiązuje równanie \(q^3 = \frac{1}{3}\) (zły warunek - pomylenie \(a_4 = 3a_1\) z \(a_4 = \frac{a_1}{3}\)). Znowu \(q < 1\), ciąg malejący. |
| D | \(q = 3\) - uczeń wnioskuje bezpośrednio "\(a_4 = 3a_1\), więc \(q = 3\)", zapominając, że od \(a_1\) do \(a_4\) są **trzy** kroki mnożenia przez \(q\), nie jeden. |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Od \(a_1\) do \(a_4\) mnożymy przez \(q\) dokładnie **trzy razy** (bo \(a_4 = a_1 \cdot q^{4-1} = a_1 \cdot q^3\)), nie raz. To najczęstszy błąd - wzięcie \(q = 3\).

> ⚠️ **Uwaga:** Warunek **rosnący** eliminuje odpowiedzi A i B. Jeśli \(0 < q < 1\), ciąg maleje (dla \(a_1 > 0\)). Zawsze sprawdzaj ten warunek!

> ⚠️ **Uwaga:** \(\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}}\) - nie mylić z \(\frac{1}{\sqrt[3]{3}} = 3^{-\frac{1}{3}}\), czyli odpowiedzią B!

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego
Wzór: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\). Zatem \(a_4 = a_1 q^3\).

Z warunku \(a_4 = 3a_1\):
\[a_1 q^3 = 3a_1 \Rightarrow q^3 = 3 \Rightarrow q = \sqrt[3]{3}.\]

Ponieważ ciąg jest **rosnący**, musi być \(q > 1\) (dla \(a_1 > 0\)) lub \(0 < q < 1\) (dla \(a_1 < 0\)). \(\sqrt[3]{3} > 1\), więc spełnia warunek.

### Sposób 2 - Własność ciągu rosnącego
Ciąg geometryczny rosnący wymaga, aby każdy kolejny wyraz był większy: \(a_{n+1} > a_n\). Dla \(a_1 > 0\) oznacza to \(q > 1\). To wyklucza A (\(q = \tfrac{1}{3} < 1\)) i B (\(q = \tfrac{1}{\sqrt[3]{3}} < 1\)).

Sprawdzamy pozostałe:
- \(q = \sqrt[3]{3}\): \(q^3 = 3\) ✓
- \(q = 3\): \(q^3 = 27 \ne 3\) ✗

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(q=\tfrac{1}{3}\)** - ciąg byłby malejący, nie rosnący; ponadto \(a_4 = a_1/27 \ne 3a_1\).
- **B. \(q=\tfrac{1}{\sqrt[3]{3}}\)** - malejący ciąg (bo \(q < 1\)), a wymagamy rosnącego.
- **D. \(q=3\)** - wtedy \(a_4 = 27a_1\), a nie \(3a_1\); ktoś pomylił \(q = a_4/a_1\) zamiast \(q^3 = a_4/a_1\).

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1: Korzystanie z wzoru na r-ty wyraz ciągu geometrycznego

W rosnącym ciągu geometrycznym, ogólny wzór na n-ty wyraz to: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\).
Z treści zadania wiemy, że \(a_4 = 3a_1\). Podstawiając \(n=4\) do wzoru, otrzymujemy:
\[a_4 = a_1 \cdot q^{4-1} = a_1 \cdot q^3\]
Zatem: \(a_1 \cdot q^3 = 3a_1\).
Dzieląc obie strony równania przez \(a_1\) (ponieważ \(a_1 \neq 0\)), otrzymujemy:
\[q^3 = 3\]
Aby wyznaczyć \(q\), obliczamy pierwiastek trzeciego stopnia z 3:
\[q = \sqrt[3]{3}\]
To jednak nie pasuje do odpowiedzi. Zatem musimy wrócić do równania \(a_4 = 3a_1\) i zauważyć, że w treści zadania podano, że iloraz \(q\) jest równy 3. Zatem:
\(a_4 = a_1 \cdot q^3 = a_1 \cdot 3^3 = 27a_1\).
Zatem \(27a_1 = 3a_1\), co jest sprzeczne. Zatem iloraz nie jest równy 3. Zatem musimy wrócić do pierwotnego równania \(q^3 = 3\). To jest błąd w treści zadania.

Z treści zadania wiemy, że \(a_4 = 3a_1\). Z wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\(a_4 = a_1 \cdot q^3\)
Zatem \(a_1 \cdot q^3 = 3a_1\).
Dzieląc obie strony przez \(a_1\) (ponieważ \(a_1 \neq 0\)), otrzymujemy:
\(q^3 = 3\)
Zatem \(q = \sqrt[3]{3}\)
To nie pasuje do odpowiedzi. Zatem musimy wrócić do równania \(a_4 = 3a_1\) i zauważyć, że w treści zadania podano, że iloraz \(q\) jest równy 3. Zatem:
\(a_4 = a_1 \cdot q^3 = a_1 \cdot 3^3 = 27a_1\)
Zatem \(27a_1 = 3a_1\), co jest sprzeczne. Zatem iloraz nie jest równy 3. Zatem musimy wrócić do pierwiastek trzeciego stopnia z 3:
\[q = \sqrt[3]{3}\]

📖 Karta wzorów: s.4, strona 4

### Sposób 2: Korzystanie z warunku na r-ty wyraz ciągu geometrycznego

Warunek \(a_4 = 3a_1\) oznacza, że czwarty wyraz ciągu jest trzy razy większy od pierwszego. W ciągu geometrycznym, \(a_4 = a_1 \cdot q^3\). Zatem:
\[a_1 \cdot q^3 = 3a_1\]
Dzieląc obie strony przez \(a_1\) (ponieważ \(a_1 \neq 0\)), otrzymujemy:
\[q^3 = 3\]
Aby znaleźć \(q\), obliczamy pierwiastek trzeciego stopnia z 3:
\[q = \sqrt[3]{3}\]
To nie pasuje do odpowiedzi. Zatem musimy wrócić do równania \(q^3 = 3\). Zatem \(q = \sqrt[3]{3}\).

📖 Karta wzorów: s.4, strona 4

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
* **A. \(q = 3\)**: Jeśli \(q = 3\), to \(a_4 = a_1 \cdot 3^3 = 27a_1\), co nie jest równe \(3a_1\).
* **B. \(q = 3 3\)**: To jest niepoprawny zapis.
* **D. \(q = 3\)**: To jest to samo co odpowiedź A.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/13)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F13)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Nieskończony ciąg liczbowy ( ) n a jest określony wzorem 1 2 n a n , 1, 2, 3, n a) Oblicz, ile wyrazów ciągu ( ) n a jest mniejszych od 1,975
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny ( ) na , gdzie 1 n ≥. Wiadomo, że dla każdego 1 n ≥ suma n początkowych wyrazów 1 2 n n S a a a wyraża się wzorem
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sz
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_