# Matematyka — zadanie 14

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/14
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Trygonometria

## Treść

Tangens kąta \(\alpha\) zaznaczonego

/matma-quiz/images/cke/MMA-P1_1P-152/z14.png

jest równy y 6 P 5 4 3

A. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
B. \(-\dfrac{4}{5}\)
C. \(-1\)
D. \(-\dfrac{5}{4}\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D

\(-\dfrac{5}{4}\)

## Sposób 1 - Definicja tangensa dla dowolnego kąta

**Punkt \(P = (-4, 5)\)** leży w **II ćwiartce** układu współrzędnych (ujemne \(x\), dodatnie \(y\)).

Z definicji tangensa dla dowolnego kąta: jeśli półprosta wychodzi z początku układu i przechodzi przez punkt \(M(x, y)\), to:

\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x}\]

Podstawiamy współrzędne punktu \(P = (-4, 5)\):

\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{5}{-4} = -\frac{5}{4}\]

**Wynik: \(\operatorname{tg}\alpha = -\dfrac{5}{4}\)**

## Sposób 2 - Przez sinus i cosinus (weryfikacja)

Obliczamy odległość punktu \(P = (-4, 5)\) od początku układu:

\[r = \sqrt{(-4)^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}\]

Wyznaczamy sinus i cosinus:

\[\sin\alpha = \frac{y}{r} = \frac{5}{\sqrt{41}}, \qquad \cos\alpha = \frac{x}{r} = \frac{-4}{\sqrt{41}}\]

Korzystamy ze wzoru \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\):

\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\dfrac{5}{\sqrt{41}}}{\dfrac{-4}{\sqrt{41}}} = \frac{5}{-4} = -\frac{5}{4}\]

**Wynik zgodny: \(\operatorname{tg}\alpha = -\dfrac{5}{4}\)**

## Wzory z karty CKE

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa dla dowolnego kąta:

\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x}\]

gdzie punkt \(M(x, y)\) leży na półprostej wyznaczającej kąt \(\alpha\).

Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio w Sposobie 1 - to najszybsza droga do wyniku.

W Sposobie 2 dodatkowo korzystaliśmy z definicji sinusa i cosinusa:

\[\sin\alpha = \frac{y}{r}, \quad \cos\alpha = \frac{x}{r}, \quad \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\]

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | \(-\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \operatorname{tg}150°\) - uczeń kojarzy II ćwiartkę z kątem 150° i podstawia wartość z tablicy zamiast liczyć z współrzędnych |
| B | Zamieniono miejscami \(x\) i \(y\) w mianowniku: policzono \(\dfrac{x}{r} = \dfrac{-4}{5}\), mylnie biorąc \(r = 5\) zamiast całej odległości |
| C | Uczeń uznał, że \(\operatorname{tg}\alpha = -1\), bo kąt jest "gdzieś między 90° a 180°" - zgadywanie bez obliczeń |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{y}{x}\) używa **współrzędnych punktu** \((x, y)\), **nie** długości \(r = \sqrt{x^2+y^2}\). Nie trzeba liczyć odległości od początku układu - to najczęstszy zbędny krok.

> ⚠️ **Uwaga:** Punkt leży w **II ćwiartce** (\(x < 0\), \(y > 0\)), więc tangens **musi być ujemny** - jeśli wychodzi dodatni wynik, na pewno gdzieś jest błąd znaku.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{y}{x}\) z \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{x}{y}\) - ułamek zawsze ma \(y\) w liczniku (tak jak sinus ma \(y\), cosinus ma \(x\)).

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Definicja tangensa przez współrzędne
Dla kąta skierowanego \(\alpha\), którego ramię przechodzi przez punkt \(P = (x, y)\):
\[\tan\alpha = \tfrac{y}{x}.\]
Dla \(P = (-4, 5)\):
\[\tan\alpha = \tfrac{5}{-4} = -\tfrac{5}{4}.\]

### Sposób 2 - Przez kąt dopełniający
Kąt ostry między prostą a osią \(Ox\) (mierzony jako \(180^\circ - \alpha\), czyli kąt w II ćwiartce):
\[\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan\alpha.\]
W trójkącie prostokątnym z wierzchołkiem w \(0\) i rzutem \(P\) na oś \(Ox\) mamy: przeciwprostokątna = \(\sqrt{16+25} = \sqrt{41}\), przyprostokątne \(4\) i \(5\).
\[\tan(\text{kąt ostry}) = \tfrac{5}{4} \Rightarrow \tan\alpha = -\tfrac{5}{4}\] (bo \(\alpha\) w II ćwiartce).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\)** - to \(\tan 150^\circ\); niezwiązane z punktem \(P=(-4,5)\).
- **B. \(-\tfrac{4}{5}\)** - to \(\tfrac{x}{y}\) (odwrócone!); zamiana licznika z mianownikiem.
- **C. \(-1\)** - to \(\tan 135^\circ\); pasowałoby tylko dla punktu typu \((-a, a)\), nie \((-4, 5)\).

**Kluczowe:** tangens w układzie współrzędnych to \(\tfrac{y}{x}\), a NIE \(\tfrac{x}{y}\). Znak patrzymy po ćwiartce - w II: \(\tan < 0\).

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1: Obliczenie tangensa z układu współrzędnych

1. **Zrozumienie tangensa:** Tangens kąta ostrości w trójkącie prostokątnym jest definiowany jako stosunek długości przyprostokątnej naprzeciwległej do tego kąta do długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta. W naszym przypadku, kąt α jest ostry, a punkt P(-4, 5) znajduje się na osi x i y.
2. **Wyznaczenie przyprostokątnych:** Punkt P(-4, 5) wskazuje, że przyprostokątna leżąca na osi x ma długość | -4 - 0 | = 4, a przyprostokątna leżąca na osi y ma długość | 5 - 0 | = 5.
3. **Obliczenie tangensa:** Tangens kąta α = przeciwny / przyległy = 5 / 4.
4. **Zapisanie odpowiedzi:** Zatem, tangens kąta α jest równy 5/4.

📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r

### Sposób 2: Obliczenie tangensa z położenia punktu P

1. **Zrozumienie położenia punktu P:** Punkt P(-4, 5) znajduje się w układzie współrzędnych, gdzie oś x jest osią poziomu, a oś y jest osią pionową.
2. **Wyznaczenie współrzędnych:** Współrzędna x punktu P to -4, a współrzędna y to 5.
3. **Obliczenie tangensa:** Tangens kąta α jest definiowany jako stosunek współrzędnej y do współrzędnej x: tan(α) = y / x = 5 / -4 = -5/4.
4. **Zauważenie błędu:** W oryginalnym rysunku, punkt P jest zdefiniowany jako (-4, 5). W tym przypadku, tangens jest równy -5/4, a nie 5/4. Zatem, należy zmienić odpowiedź na D.

📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. √3/3:** To wartość tangensa kąta 60 stopni, a nie kąta α.
* **B. 4/5:** To wartość tangensa kąta, który nie jest równy α.
* **C. -1:** To wartość tangensa kąta 135 stopni, a nie kąta α.
* **E. 5/4:** To wartość tangensa kąta, który nie jest równy α.

W tym zadaniu, punkt P(-4, 5) znajduje się w IV ćwiartku układu współrzędnych, gdzie x jest ujemne, a y jest dodatnie. Kąt α jest ostry, więc tangens jest dodatni. Zatem, tangens kąta α jest równy 5/4.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/14)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F14)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_