# Matematyka — zadanie 15

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/15
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Trygonometria

## Treść

Jeżeli \(0^{\circ}\) < \(\alpha\) < \(90^{\circ}\) oraz \(tg\alpha\) = \(2sin\alpha\) , to 1 2 3

A. \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\)
B. \(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
C. \(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
D. \(\cos\alpha = 1\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A

\[\cos\alpha = \frac{1}{2}\]

## Sposób 1 - Przekształcenie równania przez definicję tangensa

Wiemy, że \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), więc przepiszemy równanie:

\[\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha\]

Ponieważ \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\), mamy \(\sin\alpha > 0\) - **można podzielić obie strony przez \(\sin\alpha\)** (nie znikają nam rozwiązania):

\[\frac{1}{\cos\alpha} = 2\]

Stąd wprost:

\[\cos\alpha = \frac{1}{2}\]

**Sprawdzenie:** \(\cos 60° = \frac{1}{2}\) ✓, a \(60° \in (0°, 90°)\) ✓

## Sposób 2 - Użycie jedynki trygonometrycznej

Wychodzimy od \(\operatorname{tg}\alpha = 2\sin\alpha\) i korzystamy z \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\):

\[\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha\]

Przenosimy wszystko na lewą stronę:

\[\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 2\sin\alpha = 0\]

\[\sin\alpha\left(\frac{1}{\cos\alpha} - 2\right) = 0\]

Mamy iloczyn równy zero, więc:
- \(\sin\alpha = 0\) - niemożliwe, bo \(\alpha \in (0°, 90°)\), gdzie \(\sin\alpha > 0\)
- \(\frac{1}{\cos\alpha} - 2 = 0\), czyli \(\cos\alpha = \frac{1}{2}\) ✓

Możemy też zweryfikować wynik jedynką trygonometryczną:

\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \implies \sin^2\alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \implies \sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Sprawdzamy warunek z zadania:

\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\]

\[2\sin\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \checkmark\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)**:

\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\]

Użyliśmy tego w obu sposobach do zamiany tangensa na iloraz sinusa i cosinusa - kluczowy krok upraszczający równanie.

\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\]

Użyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji wyniku.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| B | \(\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\) odpowiada \(\alpha = 45°\) - uczeń wstawia i nie sprawdza, czy równanie zachodzi: \(\operatorname{tg}45° = 1\), ale \(2\sin 45° = \sqrt{2} \neq 1\) |
| C | \(\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\) odpowiada \(\alpha = 30°\): \(\operatorname{tg}30° = \frac{\sqrt{3}}{3}\), ale \(2\sin 30° = 1 \neq \frac{\sqrt{3}}{3}\) - nie spełnia równania |
| D | \(\cos\alpha = 1\) oznaczałoby \(\alpha = 0°\), co jest wykluczone przez warunek \(\alpha > 0°\); poza tym \(\operatorname{tg}0°\) i \(\sin 0°\) są oba równe zero - równanie jest trywialnie spełnione, ale \(\alpha\) nie należy do podanego przedziału |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Dzielenie przez \(\sin\alpha\) jest tu bezpieczne, bo wiemy, że \(\sin\alpha \neq 0\) (kąt jest ostry). Gdybyśmy nie mieli podanego przedziału, musielibyśmy rozważyć przypadek \(\sin\alpha = 0\) osobno!

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \(\cos\alpha = \frac{1}{2}\) (odpowiedź A) z \(\sin\alpha = \frac{1}{2}\) - to dwa różne kąty: \(60°\) vs \(30°\). Sprawdź zawsze, która funkcja była szukana.

> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D (\(\cos\alpha = 1\)) wygląda atrakcyjnie, bo \(\frac{1}{\cos\alpha} = 2\) można błędnie przepisać jako \(\cos\alpha = 2\) (pomylenie odwrotności) - zawsze wykonaj dzielenie poprawnie!

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Przekształcenie \(\tan\) przez \(\sin/\cos\)
\[\tan\alpha = \tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.\]
Z warunku:
\[\tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha.\]
Ponieważ \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\), mamy \(\sin\alpha \ne 0\). Dzielimy obie strony przez \(\sin\alpha\):
\[\tfrac{1}{\cos\alpha} = 2 \Rightarrow \cos\alpha = \tfrac{1}{2}.\]

### Sposób 2 - Rozpoznanie kąta
\(\cos\alpha = \tfrac{1}{2}\) odpowiada \(\alpha = 60^\circ\). Sprawdzenie:
- \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\)
- \(2\sin 60^\circ = 2\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\) ✓

Równanie spełnione.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(\cos\alpha = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\)** (\(\alpha = 45^\circ\)): \(\tan 45^\circ = 1\), \(2\sin 45^\circ = \sqrt{2} \ne 1\).
- **C. \(\cos\alpha = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\)** (\(\alpha = 30^\circ\)): \(\tan 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{3}\), \(2\sin 30^\circ = 1 \ne \tfrac{\sqrt{3}}{3}\).
- **D. \(\cos\alpha = 1\)** (\(\alpha = 0^\circ\)): wykluczone założeniem \(0^\circ < \alpha\).

**Trik:** w równaniach trygonometrycznych zawsze sprawdź, czy nie można skrócić tej samej funkcji po obu stronach.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1: Geometria i trójkąt prostokątny
1. **Zacznij od trójkąta prostokątnego:** Mamy trójkąt prostokątny, w którym kąt ostry wynosi α. W tym trójkącie \(tg\alpha = \frac{d}{b}\), gdzie *d* to przeciwprostokątna, a *b* to przyprostokątna.
2. **Znamy \(tg\alpha = 2\):** Zatem \( \frac{d}{b} = 2 \), co oznacza, że \(d = 2b\).
3. **Znamy \(sin\alpha\):** Wiemy, że \(sin\alpha = \frac{d}{c}\), gdzie *c* to przeciwprostokątna. Ponieważ \(d = 2b\), to \(sin\alpha = \frac{2b}{c}\).
4. **Zastosuj wzór Pitagorasa:** W trójkącie prostokątnym mamy \(a^2 + b^2 = c^2\), gdzie *a* i *b* to przyprostokątne, a *c* to przeciwprostokątna.
5. **Podstaw \(d = 2b\):** Zatem \(a^2 + b^2 = (2b)^2 = 4b^2\), co daje \(a^2 = 3b^2\), a więc \(a = \sqrt{3}b\).
6. **Oblicz \(cos\alpha\):** Ponieważ \(tg\alpha = 2\), to \(cos\alpha = \frac{1}{tg\alpha} = \frac{1}{2}\).

📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15

### Sposób 2: Użycie wzoru na \(sin\alpha\) i \(tg\alpha\)
1. **Znamy \(tg\alpha = 2\):** Zatem \(sin\alpha = \frac{tg\alpha}{cos\alpha} = \frac{2}{cos\alpha}\).
2. **Znamy wzór trygonometryczny:** \(sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1\).
3. **Podstawiamy:** (\(\frac{2}{cos\alpha}\))^2 + cos^2\alpha = 1\)
4. **Rozwiązujemy równanie:** \(\frac{4}{cos^2\alpha} + cos^2\alpha = 1\)
5. **Oznaczmy \(x = cos\alpha\):** \(\frac{4}{x^2} + x^2 = 1\)
6. **Przekształcamy:** \(4 + x^4 = x^2\) => \(x^4 - x^2 + 4 = 0\)
7. **Rozwiązujemy równanie kwadratowe:** Możemy to przekształcić do równania kwadratowego względem \(x^2\): \(x^2 = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2}\) które nie ma rozwiązań rzeczywistych. Zatem musimy zastosować inny sposób.
8. **Zwróćmy uwagę na wzór:** \(sin\alpha = \frac{2}{cos\alpha}\) i \(tg\alpha = 2\). Zatem \(sin\alpha = \frac{2}{cos\alpha}\) i \(cos\alpha = \frac{1}{2}\). Wtedy \(sin\alpha = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4\), co jest sprzeczne z \(sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1\). Musimy wrócić do pierwszego sposobu.

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
* **B. \(cos\alpha = -\frac{1}{2}\):** To jest błędne, ponieważ \(tg\alpha = 2\) i \(sin\alpha\) musi być dodatnie, co implikuje, że \(cos\alpha\) musi być dodatnie.
* **C. \(cos\alpha = \frac{1}{2}\):** To jest poprawne, ale trzeba wykonać wszystkie kroki, aby to udowodnić.
* **D. \(cos\alpha = 1\):** To jest błędne, ponieważ \(tg\alpha = 2\), a \(tg\alpha\) nie może być równa 1, ponieważ \(sin\alpha\) musi być niezerowe. Ponadto, \(cos\alpha\) musi być niezerowe.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/15)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F15)

## Podobne zadania

- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Rozwiąż równanie cos2 3cos 2 x x w przedziale 0, 2π . Odpowiedź: MMA_1R Rozwiąż równanie cos 2x + 3cos x = -2 w przedziale <0,2π>.
- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad/3) — Zadanie 3. (4 pkt) Rozwiąż równanie cos2 2 3cos x x   Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 2. 3. Maks. liczba pkt 4 4 Uzyskana liczba pkt Poziom rozszer
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/18) — Zadanie 18. (0-2) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) zaznaczono kąt o mierze 𝛼 taki, że tg 𝛼= -3 oraz 90° < 𝛼< 180° (zobacz rysunek). Uzupełnij zdani
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (2 pkt) Kąt jest ostry i 3 sin 2  . Oblicz wartość wyrażenia 2 2 sin 3cos    Odpowiedź: Nr zadania 26. 27. Maks. liczba pkt 2 2 Wypełnia egzam

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_