# Matematyka — zadanie 16 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/16 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa) - rok: 2015 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Planimetria, równania i nierówności ## Treść Zadanie 16. (0-1) Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 20° mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa A. 5° B. 10° C. 20° D. 30° W trójkącie równoramiennym ABC spełnione są warunki: |AC| = |BC|, |kat CAB| = 50 stopni. Odcinek BD jest dwusieczną kąta ABC, a odcinek BE jest wysokością opuszczoną z wierzchołka B na bok AC. Miara kąta EBD jest równa A. 10 stopni, B. 12,5 stopni, C. 13,5 stopni, D. 15 stopni. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: C - \(20^\circ\) ## Sposób 1 - równanie z definicji kąta wpisanego **Oznaczenia:** niech kąt wpisany \(= \alpha\), kąt środkowy oparty na tym samym łuku \(= \beta\). Z twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym wiemy, że: \[\beta = 2\alpha\] Warunek zadania: kąt wpisany jest o \(20^\circ\) mniejszy od kąta środkowego, czyli: \[\beta - \alpha = 20^\circ\] Podstawiamy \(\beta = 2\alpha\): \[2\alpha - \alpha = 20^\circ\] \[\alpha = 20^\circ\] **Kąt wpisany wynosi \(20^\circ\).** ## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie Jeśli \(\alpha = 20^\circ\), to kąt środkowy: \[\beta = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ\] Sprawdzamy warunek: \[\beta - \alpha = 40^\circ - 20^\circ = 20^\circ \checkmark\] Warunek zadania jest spełniony - wynik poprawny. ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym: > Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku. \[\alpha_{\text{wpisany}} = \frac{1}{2} \cdot \alpha_{\text{środkowy}}\] To jest kluczowy wzór użyty w obydwu sposobach. Znajdziesz go na stronie 19 karty wzorów, w sekcji dotyczącej koła. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd | | A. \(5^\circ\) | Uczeń zapisuje \(\beta - \alpha = 20^\circ\) i błędnie zakłada \(\beta = 4\alpha\) (czterokrotność zamiast dwukrotność) | | B. \(10^\circ\) | Uczeń myli kierunek: przyjmuje \(\alpha - \beta = 20^\circ\) (tj. że kąt środkowy jest mniejszy) i liczy \(2\alpha - \alpha = -20^\circ\), bierze wartość bezwzględną i dzieli przez 2 | | D. \(30^\circ\) | Uczeń przyjmuje, że różnica to \(20^\circ\), ale zamiast relacji \(\beta = 2\alpha\) stosuje \(\beta = \alpha + 20^\circ\), i rozwiązuje \((\alpha + 20^\circ) = 2\alpha \Rightarrow \alpha = 20^\circ\) - tu wynik ten sam! Błąd \(30^\circ\) powstaje gdy ktoś liczy \(\alpha = 20^\circ + \frac{20^\circ}{2} = 30^\circ\) przez niepoprawne „dodanie połowy" | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Kąt środkowy to **dwukrotność** kąta wpisanego, nie odwrotnie. Łatwo pomylić kierunek - środkowy jest większy! > ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi „kąt wpisany jest o \(20^\circ\) **mniejszy** od środkowego" - to znaczy \(\beta - \alpha = 20^\circ\), a nie \(\alpha - \beta = 20^\circ\). Zwracaj uwagę na to, który jest większy. > ⚠️ **Uwaga:** Twierdzenie o kącie wpisanym dotyczy **tego samego łuku** - nie możesz porównywać kątów opartych na różnych łukach! **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1 - Zależność kąta środkowego i wpisanego Twierdzenie: kąt środkowy \(= 2 \cdot\) kąt wpisany na tym samym łuku. Oznaczmy \(\beta\) - kąt wpisany, \(\alpha\) - kąt środkowy. Wtedy: \[\alpha = 2\beta\] \[\alpha - \beta = 20^\circ \quad\text{(dane)}\] Podstawiamy: \[2\beta - \beta = 20^\circ \Rightarrow \beta = 20^\circ.\] ### Sposób 2 - Sprawdzanie odpowiedzi Dla każdego \(\beta\) liczymy \(\alpha = 2\beta\) i sprawdzamy różnicę: - \(\beta = 5^\circ\): \(\alpha = 10^\circ\), różnica \(5^\circ\) ≠ 20°. - \(\beta = 10^\circ\): \(\alpha = 20^\circ\), różnica \(10^\circ\) ≠ 20°. - \(\beta = 20^\circ\): \(\alpha = 40^\circ\), różnica \(20^\circ\) ✓. - \(\beta = 30^\circ\): \(\alpha = 60^\circ\), różnica \(30^\circ\) ≠ 20°. ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(5^\circ\)** - ktoś pomylił wzór, może wziął \(\beta = \tfrac{\alpha}{4}\) zamiast \(\tfrac{\alpha}{2}\). - **B. \(10^\circ\)** - być może \(\alpha + \beta = 20^\circ\) zamiast \(\alpha - \beta = 20^\circ\); błąd interpretacji. - **D. \(30^\circ\)** - różnica byłaby \(30^\circ\), nie \(20^\circ\). **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1: Użycie własności kątów wpisanych i środkowych 1. **Zdefiniowanie:** Kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartym na tym samym łuku. Innymi słowy, miara kąta wpisanego wynosi połowę miary kąta środkowego. 2. **Oznaczenia:** * Niech \(x\) będzie miarą kąta wpisanego. * Niech \(y\) będzie miarą kąta środkowego. 3. **Zapisanie zależności:** Z treści zadania wiemy, że \(x = y - 20^{\circ}\). Ponieważ kąt wpisany jest połową kąta środkowego, mamy \(x = \frac{y}{2}\). 4. **Rozwiązanie układu równań:** Mamy układ równań: * \(x = y - 20^{\circ}\) * \(x = \frac{y}{2}\) Podstawiamy drugie równanie do pierwszego: \(\frac{y}{2} = y - 20^{\circ}\) Mnożymy przez 2: \(y = 2y - 40^{\circ}\) \(y = 40^{\circ}\) Teraz obliczamy \(x\): \(x = \frac{y}{2} = \frac{40^{\circ}}{2} = 20^{\circ}\) 📖 Karta wzorów: s.19, Wycinek, kąt wpisany=½ środkowego, strona 19 ### Sposób 2: Wykorzystanie definicji kątów wpisanych i środkowych oraz własności kątów 1. **Zdefiniowanie:** Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku. 2. **Oznaczenia:** Użyjemy tych samych oznaczeń co w poprzednim sposobie: \(x\) - miara kąta wpisanego, \(y\) - miara kąta środkowego. 3. **Zapisanie zależności:** Z treści zadania: \(y - x = 20^{\circ}\). Ponieważ kąt wpisany jest połową kąta środkowego, to \(x = \frac{y}{2}\). 4. **Rozwiązanie układu równań:** Podstawiamy \(x = \frac{y}{2}\) do równania \(y - x = 20^{\circ}\): \(y - \frac{y}{2} = 20^{\circ}\) \(\frac{y}{2} = 20^{\circ}\) \(y = 40^{\circ}\) Wtedy \(x = \frac{y}{2} = \frac{40^{\circ}}{2} = 20^{\circ}\) 📖 Karta wzorów: s.19, Wycinek, kąt wpisany=½ środkowego, strona 19 ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **A. \(5^{\circ}\):** Jeśli miara kąta wpisanego wynosi \(5^{\circ}\), to miara kąta środkowego wynosi \(25^{\circ}\), co nie spełnia warunku, że miara kąta środkowego jest o \(20^{\circ}\) większa od miary kąta wpisanego. * **B. \(10^{\circ}\):** Podobnie jak w przypadku \(5^{\circ}\), miara kąta wpisanego wynosi \(10^{\circ}\) a miara kąta środkowego wynosi \(30^{\circ}\), co nie spełnia warunku. * **D. \(30^{\circ}\):** Jeśli miara kąta wpisanego wynosi \(30^{\circ}\), to miara kąta środkowego wynosi \(50^{\circ}\), co nie spełnia warunku. Wszystkie inne odpowiedzi prowadzą do nieprawidłowych miar kątów środkowych i wpisanych, które nie spełniają podanej zależności. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** C _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/16) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F16) ## Podobne zadania - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Miara kąta wewnętrznego n- kąta foremnego jest o ° 2 mniejsza od miary kąta wewnętrznego ( ) 2 n - kąta foremnego. Oblicz n. Odpowiedź: MMA_1R - [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/18) — Zadanie 18. (0-3) W czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o polu 48 cm2 przekątna 𝐴𝐶 ma długość 8 cm i dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty: 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐶𝐷 (zobacz rysunek). Wysokość tró - [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (2 pkt) Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu. Odpowiedź: Podsta - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/10) — Zadanie 10. (0-1) Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 2 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jes _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_