# Matematyka — zadanie 17 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/17 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa) - rok: 2015 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Planimetria ## Treść Zadanie 17. (0-1) Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę α . Wtedy A. 14 15 α ° < < ° B. 29 30 α ° < < ° C. 60 61 α ° < < ° D. 75 76 α ° < < ° Dany jest okrąg o środku w punkcie O. Prosta KL jest styczna do tego okręgu w punkcie L, a środek O tego okręgu leży na odcinku KM (zob. rysunek). Udowodnij, że kąt KML ma miarę 31 stopni. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: A Romb ma obwód \(8\), więc każdy bok ma długość \(a = \frac{8}{4} = 2\). Kąt ostry rombu to \(\alpha\). Pole rombu wynosi \(1\). ## Sposób 1 - wzór na pole rombu przez kąt Pole rombu o boku \(a\) i kącie \(\alpha\) wyraża się wzorem: \[P = a^2 \cdot \sin\alpha\] Podstawiamy znane wartości: \[1 = 2^2 \cdot \sin\alpha\] \[1 = 4\sin\alpha\] \[\sin\alpha = \frac{1}{4} = 0{,}25\] Teraz szukamy, w którym przedziale leży \(\alpha = \arcsin(0{,}25)\). Korzystamy z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych (karta CKE, s. 34): \[\sin 14° \approx 0{,}2419 < 0{,}25 < 0{,}2588 \approx \sin 15°\] Ponieważ funkcja sinus jest rosnąca na \((0°, 90°)\), wynika z tego: \[14° < \alpha < 15°\] **Odpowiedź: A.** ## Sposób 2 - przez przekątne rombu W rombie o boku \(a = 2\) i kącie ostrym \(\alpha\) przekątne mają długości: \[d_1 = 2a\sin\frac{\alpha}{2} = 4\sin\frac{\alpha}{2}, \quad d_2 = 2a\cos\frac{\alpha}{2} = 4\cos\frac{\alpha}{2}\] Pole rombu to połowa iloczynu przekątnych: \[P = \frac{1}{2}d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 4\sin\frac{\alpha}{2} \cdot 4\cos\frac{\alpha}{2} = 8\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\] Stosujemy wzór na sinus podwojonego kąta \(\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\): \[P = 4\sin\alpha\] Stąd \(1 = 4\sin\alpha\), czyli \(\sin\alpha = 0{,}25\) - **ten sam wynik co w Sposobie 1.** ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole równoległoboku (a romb to szczególny przypadek): \[P = a^2\sin\alpha\] Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia \(\sin\alpha\). **Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wzór na sinus podwojonego kąta: \[\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\] Użyliśmy tego w Sposobie 2 przy upraszczaniu wyrażenia z przekątnymi. **Dział 17 (Tablica wartości funkcji trygonometrycznych, s. 34)** - odczytanie przybliżonych wartości \(\sin 14°\) i \(\sin 15°\) do zlokalizowania \(\alpha\) w odpowiednim przedziale. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | Co wychodzi | | B | Uczeń bierze \(a = 8\) (nie dzieli obwodu przez 4), dostaje \(\sin\alpha = \frac{1}{64}\) - ale to mało. Lub myli wzór i liczy \(\sin\alpha = \frac{P}{2a} = \frac{1}{4}\), ale błędnie szuka \(2\alpha\), dostając ok. 29° | \(\sin\alpha \approx 0{,}49\), co daje \(\alpha \approx 29°\) - ale to dla \(a = 1\) (bok błędnie równy \(\frac{8}{8}\)) | | C | Uczeń myśli, że kąt ostry rombu o polu równym \(\frac{1}{4}\) boku musi być \(60°\), bo pamiętana reguła o rombce z trójkątami równobocznymi | \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\) → pole wyniosłoby \(4 \cdot 0{,}866 \approx 3{,}46\), nie \(1\) | | D | Uczeń myli kąt ostry z kątem rozwartym: oblicza \(180° - \alpha\) zamiast \(\alpha\), lub przyjmuje że "pole rombu = połowa kwadratu" | \(\sin 75° \approx 0{,}966\) → pole wyniosłoby \(4 \cdot 0{,}966 \approx 3{,}86\), nie \(1\) | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Obwód rombu \(= 8\) oznacza bok \(a = 2\), nie \(a = 8\)! To najczęstszy błąd - zapominamy podzielić przez 4. > ⚠️ **Uwaga:** Wzór \(P = a^2\sin\alpha\) dotyczy **kąta między bokami**, czyli kąta wewnętrznego rombu. Nie mylić z kątem między przekątnymi! > ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \(\sin\alpha = 0{,}25\) trzeba skorzystać z tablicy na s. 34 karty CKE - bez kalkulatora nie da się "z głowy" powiedzieć, że \(\arcsin(0{,}25) \approx 14{,}5°\). Na egzaminie masz tę tablicę - sprawdź wartości dla \(14°\) i \(15°\) i porównaj. **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1 - Wzór na pole rombu **Krok 1 - długość boku rombu:** Obwód = \(4a\), więc \(4a = 8 \Rightarrow a = 2\). **Krok 2 - wzór na pole:** \(P = a^2\sin\alpha\): \[P = 4\sin\alpha = 1 \Rightarrow \sin\alpha = \tfrac{1}{4} = 0{,}25.\] **Krok 3 - odczyt z tablic trygonometrycznych:** \[\sin 14^\circ \approx 0{,}242; \quad \sin 15^\circ \approx 0{,}259.\] Ponieważ \(0{,}242 < 0{,}25 < 0{,}259\), mamy \(14^\circ < \alpha < 15^\circ\). ### Sposób 2 - Sprawdzenie granic zakresu Dla \(\alpha = 14^\circ\): \(4\sin 14^\circ \approx 0{,}968\) - mniejsze od 1. Dla \(\alpha = 15^\circ\): \(4\sin 15^\circ \approx 1{,}035\) - większe od 1. Zatem \(\alpha\) jest w przedziale (14°, 15°). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **B. \(29^\circ < \alpha < 30^\circ\)** - \(\sin 30^\circ = 0{,}5\), więc pole byłoby \(2\), nie \(1\). Ktoś przeczytał pole jako \(a\cdot h\) z wysokością \(a\), niezbyt adekwatnie. - **C. \(60^\circ < \alpha < 61^\circ\)** - wtedy \(\sin \approx 0{,}87\), pole \(\approx 3{,}48\). Znacznie za dużo. - **D. \(75^\circ < \alpha < 76^\circ\)** - niemożliwe, kąt ostry z polem 1 to kąt mały; nie rozróżniono kąta ostrego od rozwartego. **Pamiętaj:** wzór \(P = a^2\sin\alpha\) wymaga kąta wewnętrznego (każdy z nich daje ten sam wynik dzięki \(\sin\alpha = \sin(180^\circ-\alpha)\)). **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1: Obliczenie przekątnej i kąta 1. **Obliczenie długości przekątnej:** Ponieważ obwód rombu wynosi 8, a bok rombu ma długość *a*, to 4*a = 8, więc *a* = 2. W rombie przekątne przecinają się w połowie, tworząc trójkąt prostokątny. Niech *d* będzie długością przekątnej. Z twierdzenia Pitagorowego dla tego trójkąta: *d*² = *a*² + *a*² = 2*a*² = 2 * 2² = 8. Zatem *d* = √8 = 2√2. 2. **Obliczenie pola rombu:** Pole rombu oblicza się ze wzoru: *P* = *d₁* *d₂*/2, gdzie *d₁* i *d₂* są długościami przekątnych. W naszym przypadku *d₁* = *d* = 2√2, a *d₂* = 2√2. Zatem *P* = (2√2)(2√2)/2 = 4. Jednak w zadaniu podano, że pole rombu wynosi 1. Zatem, *P* = (1/2) * a² * sin(α) = 1. Więc (1/2) * 2² * sin(α) = 1, czyli 2 * sin(α) = 1, sin(α) = 1/2. Zatem α = 30° lub α = 150°. Ponieważ kąt ostry, α, musi być mniejszy od 90°, to α = 30°. Błąd w treści zadania, pole rombu powinno być 2. 3. **Poprawne obliczenie pola z wzoru:** Pole rombu *P* = a² * sin(α) = 2² * sin(α) = 4 * sin(α) = 1. Zatem sin(α) = 1/4. α = arcsin(1/4) ≈ 14.48° 4. **Sprawdzenie, czy wartość α mieści się w podanym przedziale:** 14.48° < α < 15° jest prawidłowe. 📖 Karta wzorów: s.15 (Pitagoras), strona 15 ### Sposób 2: Obliczenie pola rombu z wysokości i boku 1. **Związek między obwodem a bokiem:** Obwód rombu to 8, a bok rombu to *a*. Zatem 4*a = 8, więc *a* = 2. 2. **Związek między polem a wysokością:** Pole rombu oblicza się ze wzoru: *P* = *a* * h*, gdzie *a* to długość boku, a *h* to wysokość rombu. W zadaniu podano, że *P* = 1. 3. **Obliczenie wysokości:** Zatem 1 = 2 * h, więc *h* = 1/2 = 0.5. 4. **Obliczenie kąta α:** W rombie wysokość dzieli przekątną na dwie części. Wysokość *h* to połowa przekątnej *d*. Zatem *d* = 2*h* = 2 * 0.5 = 1. W rombie, pole rombu to też *P* = (1/2) * d₁ * d₂. Zatem 1 = (1/2) * d₁ * d₂. Ponieważ *d₁* = *d* = 1, to 1 = (1/2) * 1 * d₂, czyli *d₂* = 2. Z twierdzenia Pitagorowego: *a*² + *a*² = *d*² => 2² + 2² = *d*² => *d*² = 8 => *d* = 2√2. Wzór na pole rombu: *P* = a²sinα, więc 1 = 2²sinα => sinα = 1/4. α = arcsin(1/4) ≈ 14.48° 5. **Sprawdzenie, czy wartość α mieści się w podanym przedziale:** 14.48° < α < 15° jest prawidłowe. 📖 Karta wzorów: s.20 (Pole trójkąta), strona 20 ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **A. \(14^{\circ} < \alpha < 15^{\circ}\)**: Obliczona wartość α (ok. 14.48°) mieści się w tym przedziale. * **B. \(29^{\circ} < \alpha < 30^{\circ}\)**: Obliczona wartość α jest znacznie mniejsza. * **C. \(60^{\circ} < \alpha < 61^{\circ}\)**: Obliczona wartość α jest znacznie większa. * **D. \(75^{\circ} < \alpha < 76^{\circ}\)**: Obliczona wartość α jest znacznie większa. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** A _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/17) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F17) ## Podobne zadania - [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (4 pkt) Na zewnątrz kwadratu ABCD na bokach AB i BC zbudowano trójkąty równoboczne AEB i BFC. Uzasadnij, że trójkąt DEF jest równoboczny. A B C D E - [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (0-3) Dany jest okrąg 𝒪. Przez punkt 𝐴 poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - 𝑃 oraz 𝑄. Przez punkt 𝐵 l - [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (0-3) Dany jest okrąg 𝒪. Przez punkt 𝐴 poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - 𝑃 oraz 𝑄. Przez punkt 𝐵 l - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-3) Punkty 1 2 3 23 24 , , , , , P P P P P  dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest punktem przecięcia cięciw 11 22 P P i 1 _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_