# Matematyka — zadanie 19

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/19
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 19. (0-1)
Proste o równaniach:
2
2
1
y
mx
m
- oraz
2
2
4
1
y
m x
m
+ są prostopadłe dla
A.
1
2
m = -
B.
1
2
m =
C.
1
m =
D.
2
m =
Proste o równaniach: y=2mx-m^2-1 oraz y=4m^2x+m^2+1 są prostopadłe dla A. m=-1/2, B. m=1/2, C. m=1, D. m=2

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(m = -\dfrac{1}{2}\)

## Sposób 1 - Warunek prostopadłości prostych (przez współczynniki kierunkowe)

**Odczytujemy współczynniki kierunkowe obu prostych.**

Prosta \(y = ax + b\) ma współczynnik kierunkowy \(a\). Zatem:
\[a_1 = 2m \quad \text{(współczynnik kierunkowy pierwszej prostej)}\]
\[a_2 = 4m^2 \quad \text{(współczynnik kierunkowy drugiej prostej)}\]

**Warunek prostopadłości:** dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \(-1\):
\[a_1 \cdot a_2 = -1\]

Podstawiamy:
\[2m \cdot 4m^2 = -1\]
\[8m^3 = -1\]
\[m^3 = -\frac{1}{8}\]
\[m = \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2}\]

**Odpowiedź: \(m = -\dfrac{1}{2}\)**

## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

Sprawdzamy, że dla \(m = -\dfrac{1}{2}\) proste są rzeczywiście prostopadłe.

Obliczamy współczynniki kierunkowe przy \(m = -\dfrac{1}{2}\):
\[a_1 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1\]
\[a_2 = 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1\]

Sprawdzamy warunek prostopadłości:
\[a_1 \cdot a_2 = (-1) \cdot 1 = -1 \checkmark\]

Warunek jest spełniony - proste o współczynnikach kierunkowych \(-1\) i \(1\) są do siebie prostopadłe (wzajemnie "odwrotność ze zmianą znaku").

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych:
\[a_1 \cdot a_2 = -1\]
gdzie \(a_1, a_2\) to współczynniki kierunkowe prostych \(y = a_1 x + b_1\) i \(y = a_2 x + b_2\).

Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 jako główny warunek zadania.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Wartość \(m\) | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B | \(m = \frac{1}{2}\) | Pominięcie znaku: rozwiązanie \(m^3 = -\frac{1}{8}\) daje \(m = -\frac{1}{2}\), nie \(+\frac{1}{2}\); wzięto pierwiastek bez znaku ujemnego |
| C | \(m = 1\) | Błędne uproszczenie \(8m^3 = -1\) do \(m^3 = -1\), co daje \(m = -1\), a następnie pomylenie znaku |
| D | \(m = 2\) | Prawdopodobne błędne odczytanie współczynnika: np. użycie \(a_1 = m\) zamiast \(2m\) i \(a_2 = m^2\) zamiast \(4m^2\), co daje \(m^3 = -1\) albo inne przekształcenie |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby ujemnej jest liczbą ujemną! \(\sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2}\), nie \(\frac{1}{2}\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.

> ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości \(a_1 \cdot a_2 = -1\) dotyczy WYŁĄCZNIE prostych w postaci kierunkowej \(y = ax + b\). Nie mylić z warunkiem równoległości (\(a_1 = a_2\))!

> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny (\(-m^2 - 1\) lub \(m^2 + 1\)) nie ma żadnego wpływu na prostopadłość - liczy się tylko współczynnik przy \(x\). Uczeń może próbować "użyć" tych wyrazów do obliczeń - to błąd.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Warunek prostopadłości
Proste są prostopadłe \(\iff\) iloczyn współczynników kierunkowych równa się \(-1\):
\[(2m)\cdot(4m^2) = -1\]
\[8m^3 = -1\]
\[m^3 = -\tfrac{1}{8} \Rightarrow m = -\tfrac{1}{2}.\]

### Sposób 2 - Sprawdzanie odpowiedzi
Dla każdego \(m\) liczymy iloczyn \(a_1 \cdot a_2 = 2m \cdot 4m^2 = 8m^3\):
- \(m = -\tfrac{1}{2}\): \(8\cdot(-\tfrac{1}{8}) = -1\) ✓
- \(m = \tfrac{1}{2}\): \(8\cdot\tfrac{1}{8} = 1\) (równoległe, nie prostopadłe)
- \(m = 1\): \(8\)
- \(m = 2\): \(64\)

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(m = \tfrac{1}{2}\)** - ktoś zapomniał o znaku; \(8\cdot(\tfrac{1}{2})^3 = 1\), proste byłyby równoległe.
- **C. \(m = 1\)** - ktoś rozwiązał \(8m^3 = 1\) lub pomylił znak po lewej.
- **D. \(m = 2\)** - błąd rachunkowy przy rozwiązywaniu równania.

**Uwaga:** \(m^3 = -\tfrac{1}{8}\) ma **jedno** rozwiązanie rzeczywiste: \(m = -\tfrac{1}{2}\) (pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej).

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1: Użycie wzoru na silnię
Ktoś z nas jest zły - to zdanie sugeruje, że ktoś jest nieszczęśliwy, co można interpretować jako liczbę. Silnia jest używana do obliczania iloczynów liczb całkowitych. W tym przypadku, zdanie "Ktoś z nas jest zły" może odnosić się do liczby osób, które są zły. Zatem szukamy liczby, która w jakimś sensie reprezentuje "złość". Silnia jest naturalnym sposobem na reprezentowanie iloczynów.

\[n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1\]

W tym przypadku, jeśli "Ktoś z nas jest zły" oznacza liczbę osób, które są zły, to odpowiedź może być liczbą naturalną. Jednakże, w kontekście zadania, silnia jest używana do obliczania kombinacji, co nie pasuje do interpretacji zdania. Jednakże, w zadaniu maturalnym, silnia jest podana jako wzór, który można wykorzystać do rozwiązania.

📖 Karta wzorów: s.6, strona 13

### Sposób 2: Użycie wzoru na kombinacje (n nad k)
Zadanie sugeruje, że "Ktoś z nas jest zły" można interpretować jako problem z kombinatoryką. Wzór na kombinacje (n nad k) \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) jest używany do obliczania liczby sposobów wyboru k elementów z n, gdzie kolejność nie ma znaczenia. W tym przypadku, możemy interpretować "Ktoś z nas jest zły" jako pytanie, ile osób z grupy jest zły. Wzór na kombinacje jest odpowiedni do tego typu problemów.

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

📖 Karta wzorów: s.6, strona 13

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
* **B:** Wzór na wartość bezwzględną (|x|) jest używany do obliczania wartości bezwzględnej liczby, a nie do interpretacji zdania.
* **C:** Wzór na silnię (n!) jest używany do obliczania iloczynów liczb całkowitych, a nie do interpretacji zdania.
* **D:** Wzór na potęgę (a^r) jest używany do obliczania potęgi, a nie do interpretacji zdania.

Zadanie jest ostre i wymaga interpretacji zdania. Silnia jest podana jako wzór, który można wykorzystać do rozwiązania. Wzór na kombinacje (n nad k) jest również odpowiedni do interpretacji problemu.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/19)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F19)

## Podobne zadania

- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/2) — Zadanie 2. (3 pkt) Dany jest wektor [ ] 4,3 → AB oraz punkt ( ) 2 ,1 - A Oblicz: a) współrzędne punktu B , b) współrzędne i długość wektora → → ⋅ AB v 2 2 Arkus
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (2 pkt) Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach   2 ,2   A i   10 ,2  B Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. 28. 29. Mak
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 1) oraz 𝐵= (1, -3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Obwód kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy A. 
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20) — Zadanie 20. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-1, -4) oraz 𝐵= (2, 𝑦𝐵) leżą na prostej 𝑙. Współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 3. Liczba 𝑦

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_