# Matematyka — zadanie 20 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/20 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa) - rok: 2015 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, liczby ## Treść Zadanie 20. (0-1) Dane są punkty ( ) 2,1 M i ( ) 1, 3 N . Punkt K jest środkiem odcinka MN. Obrazem punktu K w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt A. 3 2, 2 K       B. 3 2, 2 K   =     C. 3 , 2 2 K   =     D. 3 , 2 2 K       Dane są punkty: P=(-2,-2), Q=(3,3). Odległość punktu P od punktu Q jest równa A. 1, B. 5, C. 5 * pierwiastek z 2, D. 2 * pierwiastek z 5. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: D \[K' = \left(\frac{3}{2},\ -2\right)\] ## Sposób 1 - Wzór na środek odcinka + symetria środkowa **Krok 1: Wyznaczamy środek \(K\) odcinka \(MN\)** Mamy \(M = (-2,\ 1)\) i \(N = (-1,\ 3)\). Współrzędne środka odcinka: \[x_K = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{-2 + (-1)}{2} = \frac{-3}{2}\] \[y_K = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2\] **Zatem \(K = \left(-\dfrac{3}{2},\ 2\right)\).** **Krok 2: Wyznaczamy obraz \(K'\) w symetrii względem początku układu** Symetria względem początku układu \((0, 0)\) to tzw. **symetria środkowa** - każdy punkt \((x, y)\) przechodzi w punkt \((-x, -y)\). Innymi słowy: zmieniamy znaki obu współrzędnych. \[K = \left(-\frac{3}{2},\ 2\right) \xrightarrow{\text{sym. wzgl. }O} K' = \left(\frac{3}{2},\ -2\right)\] **Odpowiedź: \(K' = \left(\dfrac{3}{2},\ -2\right)\)** ## Sposób 2 - Warunek środka przy symetrii środkowej Symetria środkowa względem punktu \(O = (0, 0)\): punkt \(O\) jest środkiem odcinka \(KK'\). Korzystamy z wzoru na środek w drugą stronę: jeśli \(O\) jest środkiem \(KK'\), to: \[\frac{x_K + x_{K'}}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x_{K'} = -x_K\] \[\frac{y_K + y_{K'}}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad y_{K'} = -y_K\] Wiemy już, że \(K = \left(-\dfrac{3}{2},\ 2\right)\), więc: \[x_{K'} = -\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2}, \qquad y_{K'} = -2\] \[\boxed{K' = \left(\frac{3}{2},\ -2\right)}\] Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na środek odcinka: \[x_S = \frac{x_A + x_B}{2}, \qquad y_S = \frac{y_A + y_B}{2}\] Użyliśmy go dwukrotnie: do wyznaczenia \(K\) (środka \(MN\)) oraz do uzasadnienia symetrii środkowej w Sposobie 2. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi | | A | Policzono środek poprawnie jako \(\left(-\frac{3}{2}, 2\right)\), ale zamieniono kolejność współrzędnych: \(x \leftrightarrow y\), otrzymując \(\left(2, -\frac{3}{2}\right)\) - to błąd zamiast zmiany znaków | | B | Zmieniono tylko znak \(x\) (pomijając znak \(y\)), przez co \(K' = \left(\frac{3}{2}, 2\right)\) - brakuje negacji \(y\) | | C | Zamieniono kolejność współrzędnych po symetrii: \(\left(\frac{3}{2}, 2\right) \to \left(2, \frac{3}{2}\right)\) - połączono dwa różne błędy | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem **początku układu** ≠ symetria względem **osi \(OX\)** ani **osi \(OY\)**. W symetrii względem \(O\) zmieniamy znaki **obu** współrzędnych. W symetrii względem osi \(OX\) zmieniamy tylko znak \(y\), a względem \(OY\) - tylko znak \(x\). > ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij najpierw wyznaczyć punkt \(K\) - zadanie pyta o obraz środka, nie o obraz \(M\) ani \(N\)! To klasyczna pułapka: uczeń liczy od razu symetrię \(M\) lub \(N\). > ⚠️ **Uwaga:** Łatwo się pomylić w znaku przy wyliczaniu \(x_K = \frac{-2 + (-1)}{2} = \frac{-3}{2}\), a nie \(\frac{-1}{2}\) - upewnij się, że dodajesz dwie ujemne liczby. **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1 - Środek odcinka + symetria środkowa **Krok 1 - środek odcinka \(MN\):** \[K = \left(\tfrac{-2+(-1)}{2}, \tfrac{1+3}{2}\right) = \left(-\tfrac{3}{2}, 2\right).\] **Krok 2 - symetria względem \((0,0)\):** punkt \((x, y)\) przechodzi na \((-x, -y)\): \[K' = \left(\tfrac{3}{2}, -2\right).\] ### Sposób 2 - Wektorowo Wektor od \((0,0)\) do \(K\) to \((-\tfrac{3}{2}, 2)\). Symetria środkowa odwraca wektor: \[\vec{OK'} = -\vec{OK} = \left(\tfrac{3}{2}, -2\right).\] ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(\left(2, -\tfrac{3}{2}\right)\)** - zamiana miejscami współrzędnych + jeden zły znak. - **B. \(\left(2, \tfrac{3}{2}\right)\)** - zamiana miejscami współrzędnych (jakby \(K\) miał odwrócone \(x\) i \(y\)). - **C. \(\left(\tfrac{3}{2}, 2\right)\)** - właściwe \(x\), ale zły znak \(y\) (ktoś nie zmienił \(2\) na \(-2\)). **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1: Użycie środka odcinka 1. **Znajdź współrzędne środka odcinka MN:** Środek odcinka to punkt, który dzieli odcinek na dwie równe części. Wzór na współrzędne środka odcinka o końcach w punktach (x₁, y₁) i (x₂, y₂) to: \[ \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \] W naszym przypadku M(-2, 1) i N(-1, 3). Zatem: \[ K = \left(\frac{-2 + (-1)}{2}, \frac{1 + 3}{2}\right) = \left(\frac{-3}{2}, \frac{4}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}, 2\right) \] 2. **Porównaj z podaną odpowiedzią:** Podana odpowiedź to \[ \left(2, -\frac{3}{2}\right) \] To jest błąd. Zamiast tego, obliczmy współrzędne punktu K, który jest środkiem odcinka MN. ### Sposób 2: Użycie odległości i symetrii 1. **Oblicz odległość między M i N:** Używamy wzoru na odległość między dwoma punktami w układzie kartezjańskim: \[ d(M, N) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] W naszym przypadku: \[ d(M, N) = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{(1)^2 + (2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] 2. **Znajdź współrzędne K:** Ponieważ K jest środkiem odcinka MN, to odległość MK = NK = \(\frac{\sqrt{5}}{2}\). K to punkt symetryczny względem początku układu współrzędnych, więc współrzędne K to przeciwdwójne znakiem i wartość współrzędnych M. \[ K = (-(-2), -1) = (2, -1) \] To również jest błąd. Zatem, skoro K jest środkiem MN, to K = (x,y) musi spełniać równanie: \[ x = \frac{-2 + (-1)}{2} = -\frac{3}{2} \] \[ y = \frac{1 + 3}{2} = 2 \] Zatem K = (-\(\frac{3}{2}\), 2). 📖 Karta wzorów: s.22-25: Geom.anal: |AB|=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²), strona 22 ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **A. (2, -3/2):** To jest błędne, ponieważ obliczenia nie prowadzą do tej odpowiedzi. * **B. (2, -3/2):** To jest błędne, ponieważ obliczenia nie prowadzą do tej odpowiedzi. * **C. (-3/2, 2):** To jest błędne, ponieważ obliczenia nie prowadzą do tej odpowiedzi. **Kluczowe zrozumienie:** Punkt K jest środkiem odcinka MN. Symetria względem początku układu współrzędnych oznacza, że współrzędne punktu K' będą przeciwdwójne znakiem i wartością współrzędnych punktu K. Zatem K' = (-(\(-3/2\)), -2) = (3/2, -2). W zadaniu jest błąd w podanych współrzędnych punktu K. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** D _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/20) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F20) ## Podobne zadania - [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/2) — Zadanie 2. (3 pkt) Dany jest wektor [ ] 4,3 → AB oraz punkt ( ) 2 ,1 - A Oblicz: a) współrzędne punktu B , b) współrzędne i długość wektora → → ⋅ AB v 2 2 Arkus - [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (2 pkt) Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach   2 ,2   A i   10 ,2  B Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. 28. 29. Mak - [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 1) oraz 𝐵= (1, -3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Obwód kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy A. - [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20) — Zadanie 20. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-1, -4) oraz 𝐵= (2, 𝑦𝐵) leżą na prostej 𝑙. Współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 3. Liczba 𝑦 _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_