# Matematyka — zadanie 21

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/21
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Stereometria, planimetria

## Treść

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(EFGHIJKL\) wierzchołki \(E\), \(G\), \(L\) połączono odcinkami (tak jak na rysunku). Wskaż kąt między wysokością \(OL\) trójkąta \(EGL\) i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.

/matma-quiz/images/cke/MMA-P1_1P-152/z21.png

). L K I J H G O E F Wskaż kąt między wysokością OL trójkąta EGL i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.

A. \(\angle HOL\)
B. \(\angle OGL\)
C. \(\angle HLO\)
D. \(\angle OHL\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(\angle HOL\)

## Sposób 1 - Rzut prostokątny na płaszczyznę podstawy

**Ustawiamy układ współrzędnych.** Niech graniastosłup ma podstawę kwadratu o boku \(2a\) i wysokość \(h\). Przyjmijmy:

\[E = (-a, -a, 0),\quad F = (a, -a, 0),\quad G = (a, a, 0),\quad H = (-a, a, 0)\]
\[I = (-a,-a,h),\quad J = (a,-a,h),\quad K = (a,a,h),\quad L = (-a,a,h)\]

(tj. \(L\) leży bezpośrednio nad \(H\))

**Wyznaczamy punkt \(O\).** \(O\) to środek przekątnej \(EG\):
\[O = \left(\frac{-a+a}{2},\, \frac{-a+a}{2},\, 0\right) = (0, 0, 0)\]

\(O\) jest więc **środkiem podstawy** graniastosłupa.

**Sprawdzamy, że \(OL \perp EG\)** (czyli że \(O\) to faktycznie stopa wysokości trójkąta \(EGL\) z \(L\)):

\[\vec{EG} = (2a, 2a, 0), \qquad \vec{OL} = (-a, a, h)\]
\[\vec{EG} \cdot \vec{OL} = (2a)(-a) + (2a)(a) + 0 \cdot h = -2a^2 + 2a^2 = 0 \checkmark\]

**Kąt między prostą a płaszczyzną.** Kąt między odcinkiem \(OL\) a płaszczyzną podstawy \(z=0\) to kąt między \(OL\) a jego rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę.

Rzut prostokątny punktu \(L = (-a, a, h)\) na płaszczyznę \(z = 0\) to punkt \((-a, a, 0)\) - a to dokładnie wierzchołek \(\mathbf{H}\)!

**Zatem:**
- \(OH\) leży w płaszczyźnie podstawy - to rzut \(OL\) na tę płaszczyznę
- \(HL \perp\) podstawa (krawędź boczna graniastosłupa)
- Kąt między \(OL\) a podstawą = kąt między \(OL\) a jego rzutem \(OH\)

\[\boxed{\text{Szukany kąt} = \angle HOL}\]

Trójkąt \(OHL\) jest prostokątny przy \(H\), bo \(HL \perp OH\):
\[\operatorname{tg}(\angle HOL) = \frac{|HL|}{|OH|} = \frac{h}{\sqrt{(-a)^2 + a^2}} = \frac{h}{a\sqrt{2}}\]

## Sposób 2 - Rozumowanie geometryczne (bez współrzędnych)

**Definicja kąta między prostą a płaszczyzną:** kąt między prostą a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę.

**Krok 1:** Rzuć \(L\) prostopadle na płaszczyznę podstawy. Ponieważ \(LL'\) jest krawędzią boczną graniastosłupa prawidłowego, rzut \(L\) to dokładnie leżący pod nim wierzchołek podstawy - czyli \(H\).

**Krok 2:** Rzut odcinka \(OL\) na podstawę to odcinek \(OH\) (łączymy rzuty obu końców: \(O\) już leży w podstawie, rzut \(L\) to \(H\)).

**Krok 3:** Kąt między \(OL\) a płaszczyzną = kąt między \(OL\) a \(OH\) = **\(\angle HOL\)** (kąt przy wierzchołku \(O\) w trójkącie \(HOL\)).

**Weryfikacja prostokątności:** \(\angle OHL = 90°\), bo \(OH\) leży w podstawie, a \(HL\) jest prostopadle do podstawy - poprawna geometria trójkąta prostokątnego potwierdza, że \(\angle HOL\) to ostry kąt przy \(O\). ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - własności graniastosłupa prostego:
> Krawędzie boczne graniastosłupa prostego są prostopadłe do płaszczyzny podstawy.

Użyliśmy tego, że \(HL \perp\) podstawa, co pozwoliło stwierdzić, że \(H\) jest rzutem \(L\).

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów liczbowych z karty - wystarczy definicja kąta między prostą a płaszczyzną i własności graniastosłupa.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| **B** - \(\angle OGL\) | Kąt przy \(G\) w trójkącie \(OGL\) - to jeden z kątów wewnętrznych trójkąta \(EGL\), nie ma związku z kątem między \(OL\) a podstawą |
| **C** - \(\angle HLO\) | Kąt przy \(L\) - to **dopełnienie** szukanego kąta (skoro \(\angle OHL = 90°\), to \(\angle HOL + \angle HLO = 90°\)). Typowa pułapka: pomylenie kąta z jego dopełnieniem |
| **D** - \(\angle OHL\) | Kąt przy \(H\) - wynosi dokładnie \(90°\), bo \(OH\) leży w podstawie, a \(HL \perp\) podstawa. To kąt prosty trójkąta, nie szukany kąt |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między prostą a jej **rzutem na tę płaszczyznę** - nie między prostą a prostą prostopadłą do płaszczyzny! Mylenie tych definicji to najczęstszy błąd.

> ⚠️ **Uwaga:** Rzut \(L\) na podstawę to \(H\) (wierzchołek podstawy pod \(L\)) - nie mylić ze środkiem podstawy ani z innymi punktami. W graniastosłupie **prostym** rzut każdego górnego wierzchołka to odpowiadający wierzchołek dolny.

> ⚠️ **Uwaga:** \(\angle HLO\) (odp. C) jest kątem komplementarnym do szukanego - wygląda podobnie na rysunku, ale to kąt przy \(L\), nie przy \(O\).

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Definicja kąta między prostą a płaszczyzną
Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między prostą a jej **rzutem prostopadłym** na tę płaszczyznę.

\(L\) leży na górnej podstawie, nad punktem \(H\) dolnej podstawy. Zatem rzut \(L\) na podstawę to \(H\), a rzut odcinka \(OL\) na podstawę to \(OH\).

Kąt między \(OL\) a podstawą = kąt między \(OL\) a jej rzutem \(OH\) = \(\angle LOH = \angle HOL\).

### Sposób 2 - Analiza wierzchołków
Trójkąt prostokątny \(LOH\): kąt prosty przy \(H\) (bo \(LH\) to krawędź boczna, prostopadła do podstawy), a kąt szukany (między \(OL\) a podstawą) znajduje się w wierzchołku \(O\) → \(\angle LOH\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(\angle OGL\)** - kąt wewnątrz trójkąta \(EGL\), niezwiązany z kątem między \(OL\) a podstawą.
- **C. \(\angle HLO\)** - kąt w wierzchołku \(L\), nie w punkcie dotknięcia z płaszczyzną.
- **D. \(\angle OHL\)** - to kąt prosty (bo \(LH \perp OH\)), nie szukany.

**Zasada:** kąt między odcinkiem a płaszczyzną mierzymy zawsze **w punkcie przecięcia odcinka z płaszczyzną**.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1: Wykorzystanie trójkąta EGH i twierdzenia Pitagorasa

1. **Zrozumienie geometrii:** Graniastosłup jest trójwymiarowy. Punkt O jest środkiem podstawy EFG. Wysokość OL to odcinek łączący wierzchołek L z punktem O. Trójkąt EGL jest trójkątem w podstawie graniastosłupa.
2. **Wyznaczenie długości EG i EL:** Ponieważ graniastosłup jest prawidłowym czworokątnym, podstawą jest kwadrat. Z rysunku widzimy, że EG = HL, a ponieważ EFGHIJKL to kwadrat, to EG = HL = a. Ponieważ I jest wierzchołkiem graniastosłupa, to EL to przekątna kwadratu, więc EL = a√2.
3. **Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do trójkąta EGL:** W trójkącie EGL mamy:
\[EG^2 + EL^2 = GL^2\]
\[a^2 + (a√2)^2 = GL^2\]
\[a^2 + 2a^2 = GL^2\]
\[3a^2 = GL^2\]
\[GL = a√3\]
4. **Obliczenie kąta HOL:** Kąt HOL to kąt między wysokością OL a płaszczyzną podstawy EFG. Możemy to obliczyć, korzystając z trójkąta EGL. W trójkącie EGL mamy kąt przy wierzchołku G, który możemy oznaczyć jako γ. Ponieważ EFG jest kwadratem, to γ = 90° (kąt prosty). Wysokość OL dzieli trójkąt EGL na dwa trójkąty prostokątne. Kąt HOL to kąt pomiędzy wysokością OL a podstawą EG. Możemy obliczyć ten kąt, korzystając z funkcji trygonometrycznych w trójkącie EGL. Wysokość OL to odcinek łączący wierzchołek L z punktem O, środkiem podstawy. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie EOL, gdzie EO = a/2, OL = h (wysokość), a EL = a√2, mamy:
\[EO^2 + OL^2 = EL^2\]
\[(a/2)^2 + h^2 = (a√2)^2\]
\[a^2/4 + h^2 = 2a^2\]
\[h^2 = 2a^2 - a^2/4 = 7a^2/4\]
\[h = \frac{\sqrt{7}a}{2}\]
Kąt HOL = arctg(EG/EL) = arctg(a/(a√2)) = arctg(1/√2) = 30°
Wysokość OL to \(h = \frac{\sqrt{7}a}{2}\)

📖 Karta wzorów: s.15, strona 15 - Twierdzenie Pitagorasa
\[a²+b²=c²\]

### Sposób 2: Wykorzystanie trójkąta EOL i kąta przy wierzchołku I

1. **Zrozumienie geometrii:** Podobnie jak wcześniej, O to środek podstawy EFG. Wysokość OL to odcinek łączący wierzchołek L z punktem O.
2. **Wyznaczenie długości EO i LO:** Ponownie, EO = a/2. Ponieważ O jest środkiem kwadratu EFGHIJKL, to LO = a/2.
3. **Obliczenie kąta HOL:** Kąt HOL to kąt pomiędzy wysokością OL a płaszczyzną podstawy EFG. Możemy obliczyć ten kąt, korzystając z trójkąta EOL. W trójkącie EOL mamy:
* EO = a/2
* LO = a/2
* EL = a√2
Zauważmy, że trójkąt EOL jest trójkątem równoramiennym. Kąt przy wierzchołku E (lub przy wierzchołku L) to kąt HOL. Możemy obliczyć ten kąt, korzystając z twierdzenia sinusów:
\[\frac{EL}{\sin(\angle EOL)} = \frac{EO}{\sin(\angle LOE)}\]
\[\frac{a√2}{\sin(\angle EOL)} = \frac{a/2}{\sin(\angle LOE)}\]
\[\frac{\sqrt{2}}{\sin(\angle EOL)} = \frac{1/2}{\sin(\angle LOE)}\]
Zauważmy, że \( \angle EOL = \angle LOE\), więc:
\[\sin(\angle EOL) = \sin(\angle LOE)\]
\[\frac{\sqrt{2}}{\sin(\angle EOL)} = \frac{1/2}{\sin(\angle LOE)} = \frac{1}{2\sin(\angle EOL)}\]
\[\sqrt{2} = \frac{1}{\sin(\angle EOL)}\]
\[\sin(\angle EOL) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]
\[\angle EOL = 45^\circ\]
Zatem kąt HOL = 45°

📖 Karta wzorów: s.15, strona 15 - Twierdzenie Pitagorasa i Twierdzenie Sinusów

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. \(\Sigma HOL\):** To symbol matematyczny, który nie odpowiada na pytanie o kąt.
* **B. \(\Sigma OGL\):** Podobnie jak A, to symbol matematyczny.
* **C. \(\Sigma HLO\):** To symbol matematyczny.
* **D. \(\Sigma OHL\):** To symbol matematyczny.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/21)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F21)

## Podobne zadania

- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (6 pkt) Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD, którego boki mają długości 32 AB = i 18 BC = . Ściany boczne ABS i CDS są trójkątami przystaj
- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/17) — Zadanie 17. (0-2) Na rysunku przedstawiono dwie różne ściany prostopadłościanu. Jedna jest kwadratem o boku 5 cm, a druga - prostokątem o bokach 3 cm i 5 cm. Ob
- [Zadanie 24](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/24) — Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 4 . Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kąt
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mmap-p0-100-2408/zad/26) — Dany jest prostopadłościan ABCDEFGH , w którym podstawy ABCD i EFGH są kwadratami o boku długości 6 . Przekątna BH tego prostopadłościanu tworzy z przekątną AH 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_