# Matematyka — zadanie 22

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/22
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Stereometria, planimetria

## Treść

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6 . Objętość tego stożka jest równa

A. \(27\pi\sqrt{3}\)
B. \(9\pi\sqrt{3}\)
C. \(18\pi\)
D. \(6\pi\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B - \(9\pi\sqrt{3}\)

## Sposób 1 - własności trójkąta równobocznego

**Przekrój osiowy** stożka to trójkąt, którego podstawa = średnica podstawy stożka, a boki = tworząca (generatrix). Skoro ten trójkąt jest **równoboczny o boku 6**, to:

\[2r = 6 \implies r = 3\]

Wysokość trójkąta równobocznego (= wysokość stożka):

\[h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\]

Objętość stożka:

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 3^2 \cdot 3\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3}\]

\[V = \frac{27\pi\sqrt{3}}{3} = \boxed{9\pi\sqrt{3}}\]

## Sposób 2 - twierdzenie Pitagorasa do wyznaczenia wysokości

Zamiast korzystać ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego, wyznaczamy \(h\) z twierdzenia Pitagorasa. Mamy tworzącej \(l = 6\) i promień \(r = 3\):

\[l^2 = r^2 + h^2\]

\[6^2 = 3^2 + h^2\]

\[36 = 9 + h^2 \implies h^2 = 27 \implies h = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\]

Dalej identycznie:

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} = 9\pi\sqrt{3}\]

Wynik zgodny - odpowiedź **B** potwierdzona.

## Wzory z karty CKE

**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość stożka:
\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]
Użyliśmy wprost do obliczenia objętości po wyznaczeniu \(r\) i \(h\).

**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\):
\[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]
Użyliśmy w Sposobie 1, aby z boku trójkąta równobocznego otrzymać wysokość stożka.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A - \(27\pi\sqrt{3}\) | Zapomnienie o \(\frac{1}{3}\) we wzorze na objętość stożka: \(\pi r^2 h = 27\pi\sqrt{3}\) - to trzykrotnie za dużo |
| C - \(18\pi\) | Wzięcie \(h = 6\) (zamiast obliczenia - błędne założenie, że bok = wysokość) i \(r = 3\): \(\frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 6 = 18\pi\) |
| D - \(6\pi\) | Wzięcie \(r = 3\) i \(h = \frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}\) (pomieszanie promienia okręgu opisanego z wpisanym) lub inne błędne uproszczenie |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Przekrój osiowy daje **średnicę** - nie promień! Bok trójkąta równa się \(2r\), więc \(r = 3\), nie \(r = 6\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.

> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na objętość stożka zawiera \(\frac{1}{3}\) - łatwo o nim zapomnieć, szczególnie gdy liczymy pod presją czasu. Odpowiedź A to właśnie wynik bez tej jednej trzeciej.

> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość trójkąta równobocznego NIE równa się jego bokowi. Zawsze \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) - sprawdź to na karcie wzorów (dział 10, s. 15) lub wylicz z Pitagorasa.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Wyznaczenie promienia i wysokości
Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, którego:
- **podstawa** = średnica koła podstawy = \(2r\),
- **ramiona** = tworzące stożka \(l\),
- **wysokość** = wysokość stożka \(h\).

Dla trójkąta równobocznego o boku \(6\): \(2r = 6 \Rightarrow r = 3\), a \(l = 6\).

**Wysokość (z tw. Pitagorasa):**
\[h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}.\]

**Objętość stożka:**
\[V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = \tfrac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 3\sqrt{3} = 9\pi\sqrt{3}.\]

### Sposób 2 - Wzór na wysokość trójkąta równobocznego
W trójkącie równobocznym o boku \(a\) wysokość \(h = \tfrac{a\sqrt{3}}{2}\). Dla \(a = 6\):
\[h = \tfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}.\]
Potem objętość jak powyżej.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(27\pi\sqrt{3}\)** - pominięto czynnik \(\tfrac{1}{3}\) we wzorze na objętość stożka.
- **C. \(18\pi\)** - użyto wzoru na objętość walca \(\pi r^2 h\) bez \(\tfrac{1}{3}\) i bez \(\sqrt{3}\).
- **D. \(6\pi\)** - wynik niezgodny z żadną sensowną metodą liczenia.

**Pamiętaj:** stożek \(V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h\); walec \(V = \pi r^2 h\); kula \(V = \tfrac{4}{3}\pi r^3\).

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1: Obliczenie wysokości stożka i wykorzystanie wzoru na objętość stożka.
[kroki z MathJax]
1. **Znalezienie promienia podstawy stożka:** Trójkąt równoboczny o boku 6 jest podstawą stożka. Promień podstawy (r) jest równy połowie długości boku, czyli r = 6/2 = 3. (S.15: Pole trójkąta)
2. **Obliczenie wysokości stożka:** Wysokość stożka (h) jest wysokością trójkąta równobocznego, która jest równa boku pomnożonemu przez √3 / 2. Zatem h = 6 * (√3 / 2) = 3√3. (S.15: Pitagoras)
3. **Obliczenie objętości stożka:** Objętość stożka (V) obliczana jest wzorem: V = (1/3) * π * r² * h. Podstawiając wartości r = 3 i h = 3√3, otrzymujemy: V = (1/3) * π * 3² * 3√3 = (1/3) * π * 9 * 3√3 = 9π√3. (S.26: Stereom - stożek, V=πr²h/3)

📖 Karta wzorów: s.5-6: Logarytmy, strona 5

### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na objętość stożka, gdzie przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym.
[kroki z MathJax]
1. **Związek między boku trójkąta a promieniem stożka:** W przekroju osiowym stożka, trójkąt równoboczny o boku 6 jest podstawą stożka. Promień podstawy stożka (r) jest równy połowie długości boku trójkąta, czyli r = 3.
2. **Obliczenie wysokości stożka:** Wysokość stożka (h) jest wysokością trójkąta równobocznego o boku 6. Wysokość tego trójkąta to 6 * (√3 / 2) = 3√3.
3. **Obliczenie objętości stożka:** Objętość stożka (V) obliczana jest wzorem: V = (1/3) * π * r² * h. Podstawiając r = 3 i h = 3√3, otrzymujemy: V = (1/3) * π * 3² * 3√3 = 9π√3. (S.26: Stereom - stożek, V=πr²h/3)

📖 Karta wzorów: s.5-6: Logarytmy, strona 5

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
* **A. \(27\pi 3\)**: W tym przypadku obliczenia są błędne, a wynik nie zgadza się z obliczonym wzorem.
* **C. \(18\pi\)**: Podobnie jak w przypadku A, obliczenia są błędne.
* **D. \(6\pi\)**: Obliczenia są błędne, a wynik nie zgadza się z obliczonym wzorem.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/22)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F22)

## Podobne zadania

- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/8) — Zadanie 8. (6 pkt) Wysokość walca jest o 6 większa od średnicy jego podstawy, a pole jego powierzchni całkowitej jest równe 378 . π Oblicz objętość walca. 10 Ar
- [Zadanie 36](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-stara-podstawowa/zad/36) — Zadanie 36. (0-5) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości równej 108 stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy 1
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (5 pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest n
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-5) Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy . Przekątne podstawy ABCD prz

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_