# Matematyka — zadanie 24

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/24
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, średnia arytmetyczna, statystyka

## Treść

Zadanie 24. (0-1)
Średnia arytmetyczna zestawu danych:
2, 4, 7, 8, 9
jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych:
2, 4, 7, 8, 9, x.
Wynika stąd, że
A.
0
x
B.
3
x
C.
5
x
D.
6
x
Średnia arytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8, 9 jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8, 9, x Wynika stąd, że A. x=0, B. x=3, C. x=5, D. x=6.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D - \(x = 6\)

## Sposób 1 - Obliczenie średniej pierwszego zestawu i przyrównanie

**Krok 1: Wyznaczamy średnią arytmetyczną pierwszego zestawu.**

Zestaw: \(2, 4, 7, 8, 9\) - pięć liczb.

\[\bar{a} = \frac{2 + 4 + 7 + 8 + 9}{5} = \frac{30}{5} = 6\]

**Krok 2: Wyznaczamy średnią arytmetyczną drugiego zestawu.**

Zestaw: \(2, 4, 7, 8, 9, x\) - sześć liczb.

\[\bar{b} = \frac{2 + 4 + 7 + 8 + 9 + x}{6} = \frac{30 + x}{6}\]

**Krok 3: Przyrównujemy obie średnie.**

Warunek z zadania: \(\bar{a} = \bar{b}\), czyli:

\[\frac{30 + x}{6} = 6\]

\[30 + x = 36\]

\[\boxed{x = 6}\]

## Sposób 2 - Intuicja: x musi być równy średniej

**Kluczowe spostrzeżenie:** Jeśli do zbioru doliczymy nowy element \(x\), a średnia ma pozostać bez zmian, to \(x\) musi być dokładnie równy tej średniej.

**Dlaczego?** Nowy element nie może "pociągnąć" średniej ani w górę, ani w dół - musi być neutralny. Jedyna wartość neutralna to sama średnia.

Średnia pierwszego zestawu wynosi \(6\), więc:

\[x = 6\]

**Weryfikacja:**

\[\frac{2 + 4 + 7 + 8 + 9 + 6}{6} = \frac{36}{6} = 6 \checkmark\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:
\[\bar{a} = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia obu średnich i ustawienia równania.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Uczeń myśli, że "doliczyć zero to jak nie doliczać nic" - ale zero to nie to samo co "brak elementu". Dołożenie \(0\) do zestawu zmienia średnią: \(\frac{30+0}{6} = 5 \neq 6\) |
| B | Wynik \(x = 3\) pojawia się, gdy ktoś podzieli sumę \(30\) przez \(n = 6\) i dostanie \(5\), po czym pomyli się o \(2\), lub błędnie rozwiązuje równanie \(30 + x = 33\) |
| C | \(x = 5\) to wynik, gdy uczeń policzy średnią poprawnie jako \(6\), ale następnie rozwiąże \(\frac{30+x}{6} = 5\) (zamiast \(= 6\)), czyli pomyli wartość średniej z liczbą elementów |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Doliczyć \(x = 6\) do zestawu to NIE to samo co doliczyć \(x = 0\). Zero jest liczbą i zmienia liczbę elementów oraz sumę - średnia spada!

> ⚠️ **Uwaga:** W mianowniku drugiej średniej jest \(6\), nie \(5\) - nowy zestaw ma o jeden element więcej. To najczęstszy błąd rachunkowy w tym zadaniu.

> ⚠️ **Uwaga:** Zapamiętaj ogólną zasadę - **dołożenie do zestawu elementu równego aktualnej średniej nie zmienia średniej**. To przydatna intuicja na egzaminie!

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Obliczenie średniej i warunek
**Średnia pierwszego zestawu:**
\[\bar{x}_1 = \tfrac{2+4+7+8+9}{5} = \tfrac{30}{5} = 6.\]

**Średnia drugiego zestawu = 6:**
\[\tfrac{2+4+7+8+9+x}{6} = 6 \Rightarrow \tfrac{30+x}{6} = 6 \Rightarrow 30+x = 36 \Rightarrow x = 6.\]

### Sposób 2 - Własność średniej
Dodanie do zestawu liczby równej średniej **nie zmienia** średniej. Skoro średnia pierwszego zestawu to \(6\), to dodanie \(x = 6\) zachowa średnią.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(x = 0\)** - średnia by zmalała do \(5\).
- **B. \(x = 3\)** - średnia by zmalała do \(5{,}5\).
- **C. \(x = 5\)** - średnia by zmalała do \(\tfrac{35}{6} \approx 5{,}83\).

**Pamiętaj:** dodanie wartości równej średniej **zachowuje** średnią; dodanie wyższej - podnosi; niższej - obniża.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1: Użycie średniej arytmetycznej
1. **Zrozumienie zadania:** Zadanie mówi, że średnia arytmetyczna zestawu danych A jest równa średniej arytmetycznej zestawu danych B. Oznacza to, że suma elementów w zestawach A i B jest taka sama.
2. **Zapisanie danych:** Niech elementy zestawu A to \(a_1, a_2, , a_n\) i elementy zestawu B to \(b_1, b_2, , b_n\).
3. **Wzór na średnią arytmetyczną:** Średnia arytmetyczna zestawu A to \(\frac{a_1 + a_2 + + a_n}{n}\) a średnia arytmetyczna zestawu B to \(\frac{b_1 + b_2 + + b_n}{n}\).
4. **Równoważność:** Z treści zadania wiemy, że:
\[ \frac{a_1 + a_2 + + a_n}{n} = \frac{b_1 + b_2 + + b_n}{n} \]
5. **Uproszczenie:** Możemy pomnożyć obie strony przez *n*, otrzymując:
\[ a_1 + a_2 + + a_n = b_1 + b_2 + + b_n \]
6. **Wniosek:** Ponieważ zestaw A i B mają ten sam rozmiar (n elementów), to *x* musi być równy środkowi tego zestawu. Zatem, jeśli wszystkie elementy zestawu A są równe *x*, to średnia arytmetyczna jest równa *x*. W tym przypadku, *x* jest środkiem zestawu danych.

📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, strona 9

### Sposób 2: Zastosowanie wzoru na średnią arytmetyczną i równoważność
1. **Zrozumienie zadania:** Podobnie jak w poprzednim sposobie, zadanie mówi, że średnie arytmetyczne zestawów A i B są równe.
2. **Wzór na średnią arytmetyczną:** Średnia arytmetyczna zestawu danych to suma wszystkich elementów podzielona przez liczbę elementów.
3. **Zapisanie średnich:** Niech *S<sub>A</sub>* oznacza średnią arytmetyczną zestawu A, a *S<sub>B</sub>* średnią arytmetyczną zestawu B. Z treści zadania: *S<sub>A</sub>* = *S<sub>B</sub>*.
4. **Wyrażenie średnich:** *S<sub>A</sub>* = (a₁ + a₂ + + a<sub>n</sub>) / n i *S<sub>B</sub>* = (b₁ + b₂ + + b<sub>n</sub>) / n
5. **Równoważność:** Ponieważ *S<sub>A</sub>* = *S<sub>B</sub>*, to: (a₁ + a₂ + + a<sub>n</sub>) / n = (b₁ + b₂ + + b<sub>n</sub>) / n
6. **Uproszczenie:** Pomnóż obie strony przez *n*: a₁ + a₂ + + a<sub>n</sub> = b₁ + b₂ + + b<sub>n</sub>
7. **Wniosek:** Aby suma elementów w zestawach A i B była równa, *x* musi być środkiem tego zestawu.

📖 Karta wzorów: log(xy)=logx+logy, strona 7

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
* **A. \(x = 0\):** Jeśli *x* = 0, to średnia arytmetyczna zestawu A i B będzie równa 0, ale to nie spełnia warunku, że średnie są równe.
* **B. \(x = 3\):** Podobnie jak w przypadku *x* = 0, *x* = 3 nie gwarantuje, że średnie będą równe.
* **C. \(x = 5\):** Podobnie jak poprzednio, *x* = 5 nie jest prawidłową odpowiedzią.
* **D. \(x = 6\):** *x* = 6 to prawidłowa odpowiedź, ponieważ jest to wartość środkowa zestawu danych, która powoduje, że średnie arytmetyczne zestawów A i B są równe.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/24)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F24)

## Podobne zadania

- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (2 pkt) Średnia wieku w pewnej grupie studentów jest równa 23 lata. Średnia wieku tych studentów i ich opiekuna jest równa 24 lata. Opiekun ma 39 la
- [Zadanie 24](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/24) — Zadanie 24. (0-1) W pewnej miejscowości zlokalizowane są dwie szkoły. W pierwszej z nich jest trzy razy więcej uczniów niż w drugiej. Średni wiek uczniów w pier
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (0-1) W pewnej miejscowości zlokalizowane są dwie szkoły. W pierwszej z nich jest trzy razy więcej uczniów niż w drugiej. Średni wiek uczniów w pier
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/4) — Zadanie 4. (0-1) Średnia arytmetyczna czterech liczb 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 jest równa 9, a średnia arytmetyczna dwóch liczb 𝑒 i 𝑓 jest równa 6. Uzupełnij zdania. Wybierz o

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_