# Matematyka — zadanie 25

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/25
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, prawdopodobieństwo

## Treść

Zadanie 25. (0-1)
W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona,
a druga - niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech p oznacza
prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech
wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy
A.
1
4
p =
B.
3
8
p =
C.
1
2
p =
D.
2
3
p =

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
W pewnej klasie stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców jest równy 4:5. Losujemy jedną osobę z tej klasy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to dziewczyna, jest równe A. 4/5, B. 4/9, C. 1/4, D. 1/9.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B

\(p = \dfrac{3}{8}\)

## Sposób 1 - Schemat Bernoullego

Mamy trzy niezależne doświadczenia - z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. W każdym pojemniku jest jedna kula czerwona i jedna niebieska, więc:

\[P(\text{czerwona}) = \frac{1}{2}, \qquad P(\text{niebieska}) = \frac{1}{2}\]

Szukamy prawdopodobieństwa, że **dokładnie 2 z 3** wylosowanych kul będą czerwone.

To klasyczny schemat Bernoullego: \(n = 3\) próby, \(k = 2\) sukcesy, \(p = \frac{1}{2}\), \(q = \frac{1}{2}\).

\[P_3(2) = \binom{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1\]

\[\binom{3}{2} = 3\]

\[P_3(2) = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{1}{8} = \mathbf{\frac{3}{8}}\]

## Sposób 2 - Wyliczenie wprost (przestrzeń zdarzeń)

Losujemy trzy kule - z każdego pojemnika jedną. Każda kula to albo C (czerwona) albo N (niebieska). Wszystkie możliwe wyniki (każdy równie prawdopodobny):

| Wynik | Pojemnik 1 | Pojemnik 2 | Pojemnik 3 |
| 1 | C | C | C |
| 2 | **C** | **C** | **N** |
| 3 | **C** | **N** | **C** |
| 4 | **N** | **C** | **C** |
| 5 | C | N | N |
| 6 | N | C | N |
| 7 | N | N | C |
| 8 | N | N | N |

Wszystkich wyników: \(|\Omega| = 2^3 = 8\), każdy z prawdopodobieństwem \(\frac{1}{8}\).

Zdarzenia sprzyjające (dokładnie 2 czerwone) - wiersze 2, 3, 4: **3 wyniki**.

\[p = \frac{3}{8}\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - Schemat Bernoullego:
\[P_n(k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]
Użyliśmy w Sposobie 1 z \(n = 3\), \(k = 2\), \(p = q = \frac{1}{2}\).

**Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6)**:
\[\binom{3}{2} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3\]
Współczynnik \(\binom{3}{2} = 3\) mówi nam, ile jest sposobów wybrania, **które 2 z 3** pojemników dadzą czerwoną kulę.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A: \(\frac{1}{4}\) | Uczeń liczy tylko \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\), zapominając pomnożyć przez liczbę możliwych układów \(\binom{3}{2} = 3\) |
| C: \(\frac{1}{2}\) | Myślenie intuicyjne: "skoro każda kula jest z prawdopodobieństwem \(\frac{1}{2}\) czerwona, to połowa kul będzie czerwona" - błąd, bo mylone jest prawdopodobieństwo z proporcją |
| D: \(\frac{2}{3}\) | Uczeń dzieli liczbę sprzyjających zdarzeń (3) przez liczbę wyników z co najmniej jedną czerwoną (zamiast przez całą przestrzeń 8) |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie współczynnika \(\binom{3}{2}\). Pamiętaj - nie chodzi tylko o to, że 2 kule są czerwone, ale też o to, **która** para pojemników daje czerwone. Są 3 takie pary!

> ⚠️ **Uwaga:** Schemat Bernoullego działa tutaj, bo doświadczenia są **niezależne** - losowanie z jednego pojemnika nie wpływa na wyniki z pozostałych.

> ⚠️ **Uwaga:** \(\binom{3}{2} = \binom{3}{1} = 3\) - to nie przypadek! Liczba układów z dokładnie 2 czerwonymi równa się liczbie układów z dokładnie 1 czerwoną, bo \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\).

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Schemat Bernoulliego
Każde losowanie: \(P(\text{czerwona}) = \tfrac{1}{2}\), \(P(\text{niebieska}) = \tfrac{1}{2}\). Losowania niezależne.

Prawdopodobieństwo dokładnie 2 sukcesów (czerwonych) w 3 próbach:
\[p = \binom{3}{2}\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^1 = 3\cdot\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{8}.\]

### Sposób 2 - Wypisanie zdarzeń elementarnych
Oznaczmy \(C\) - czerwona, \(N\) - niebieska. Zdarzenia z dokładnie 2 czerwonymi:
- \(CCN, CNC, NCC\) - **3 zdarzenia**.
Każde ma prawdopodobieństwo \(\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{8}\).
\[p = 3\cdot\tfrac{1}{8} = \tfrac{3}{8}.\]

### Sposób 3 - Przestrzeń zdarzeń \(|\Omega| = 8\)
Wszystkich zdarzeń elementarnych: \(2^3 = 8\). Spośród nich 3 mają dokładnie 2 czerwone.
\[p = \tfrac{3}{8}.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(\tfrac{1}{4}\)** - zapomniano o liczbie sposobów ułożenia 2 czerwonych wśród 3 miejsc (\(\binom{3}{2}=3\)).
- **C. \(\tfrac{1}{2}\)** - ktoś uśrednił \(p(0 \text{ cz}) + p(1 \text{ cz}) + p(2 \text{ cz}) + p(3 \text{ cz}) = 1\) bez odpowiedniego podziału.
- **D. \(\tfrac{2}{3}\)** - niezwiązane z poprawną metodą.

**Kluczowe:** liczba ułożeń \(k\) sukcesów w \(n\) próbach to \(\binom{n}{k}\).

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1: Symulacja (Monte Carlo)
Ten sposób polega na symulowaniu losowania kul wielokrotnie i liczeniu, jaki procent razy wylosowano dokładnie dwie czerwone. Zatem, prawdopodobieństwo *p* jest przybliżone przez stosunek liczby symulacji, w których wylosowano dokładnie dwie czerwone, do całkowitej liczby symulacji.

Kroki:

1. **Zdefiniuj przestrzeń próby:** Mamy trzy pojemniki. Każdy pojemnik zawiera jedną kulę (czerwona lub niebieska). Możliwe kombinacje kul w trzech pojemnikach to:
* CCC (wszystkie czerwone)
* CCB (dwa czerwone, jeden niebieski)
* CBC (jeden czerwony, jeden niebieski, jeden czerwony)
* CBB (jeden czerwony, jeden niebieski, jeden czerwony)
* (i tak dalej - jest 2^3 = 8 możliwych kombinacji)

2. **Symulacja:** Wykonujemy symulację, np. 10000 razy. W każdej symulacji losujemy jedną kulę z każdego pojemnika. Zliczamy, ile razy wylosowano dokładnie dwie czerwone kule.

3. **Obliczenie prawdopodobieństwa:** *p* = (liczba symulacji z dokładnie dwoma czerwonymi) / (liczba wszystkich symulacji)

Przy symulacji, prawdopodobieństwo, że wylosujemy dwie czerwone kule, jest bliskie 3/8.

\[
p = \frac{\text{Liczba symulacji z 2 czerwymi kulami}}{\text{Liczba wszystkich symulacji}}
\]

📖 Karta wzorów: Prawdop. (s.29), strona 30

### Sposób 2: Analiza Kombinatoryczna
Możemy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone, używając kombinatoryki.

1. **Wybór dwóch pojemników, z których wybieramy kulę czerwoną:** Musimy wybrać 2 z 3 pojemników, w których wybieramy kulę czerwoną. Liczba sposobów na to to \( \binom{3}{2} = 3 \).

2. **Wybór jednej kuli czerwonej z pozostałego pojemnika:** Po wybraniu 2 pojemników z kulami czerwonymi, w pozostałym pojemniku musi być kula niebieska. Wybieramy tę kulę niebieską. Jest tylko 1 sposób na to.

3. **Całkowita liczba sposobów na wylosowanie dwóch czerwonych kul z trzech pojemników:** \( \binom{3}{2} \cdot 1 = 3 \)

4. **Całkowita liczba sposobów na wylosowanie dowolnej jednej kuli z trzech pojemników:** \( \binom{3}{1} = 3 \)

5. **Prawdopodobieństwo:** \( p = \frac{\text{Liczba sposobów na wylosowanie 2 czerwonych kul}}{\text{Liczba sposobów na wylosowanie dowolnej jednej kuli}} = \frac{3}{3} = 1 \)
To jest błędne. Musimy obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosujemy dokładnie dwie czerwone kule z trzech wylosowanych.

Poprawnie:
* Wybieramy 2 pojemniki z 3, z których wybieramy kulę czerwoną: \( \binom{3}{2} = 3 \)
* Wybieramy 1 pojemnik z 3, z którego wybieramy kulę niebieską: \( \binom{1}{1} = 1 \)
* Liczba sposobów na wylosowanie 2 czerwonych i 1 niebieskiej: \( \binom{3}{2} \cdot \binom{1}{1} = 3 \)
* Liczba wszystkich możliwych sposobów na wylosowanie 3 kul z 3 pojemników: \( \binom{3}{3} = 1 \)
* Prawdopodobieństwo: \( p = \frac{3}{1} = 3 \)
To jest również błędne.

Prawidłowe podejście:
* Prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli z pierwszego pojemnika: \( p_1 = \frac{1}{2} \)
* Prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli z drugiego pojemnika: \( p_2 = \frac{1}{2} \)
* Prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli z trzeciego pojemnika: \( p_3 = \frac{1}{2} \)
* Prawdopodobieństwo wylosowania niebieskiej kuli z pierwszego pojemnika: \( q_1 = \frac{1}{2} \)
* Prawdopodobieństwo wylosowania niebieskiej kuli z drugiego pojemnika: \( q_2 = \frac{1}{2} \)
* Prawdopodobieństwo wylosowania niebieskiej kuli z trzeciego pojemnika: \( q_3 = \frac{1}{2} \)
* Chcemy, aby dokładnie 2 z 3 wylosowanych kul były czerwone. Możemy to zrobić na \( \binom{3}{2} = 3 \) sposobach.
* Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch czerwonych i jednej niebieskiej to:
\( 3 \cdot p_1 \cdot p_2 \cdot q_3 = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \)
Zatem, \( p = \frac{3}{8} \)

📖 Karta wzorów: Prawdop. (s.29), strona 30

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. \( p = \frac{1}{4} \)**: Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ nie uwzględnia, że w każdym pojemniku jest para kul (jedna czerwona, jedna niebieska). Symulacja i analiza kombinatoryczna dają wynik 3/8.
* **C. \( p = \frac{1}{2} \)**: Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli z każdego pojemnika jest 1/2, ale to nie uwzględnia struktury pary kul w każdym pojemniku.
* **D. (nie podano)**: Ta odpowiedź nie ma sensu, ponieważ nie jest to prawdopodobieństwo.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/25)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F25)

## Podobne zadania

- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (4 pkt) Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo każdego z następujących zdarzeń: a) A - w każdym rzucie wyp
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (4 pkt) Rzucamy pięć razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że „jedynka” wypadnie co najmniej
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (0-3) Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe 1 4 .
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (0-3) W pojemniku jest siedem kul: pięć kul białych i dwie kule czarne. Z tego pojemnika losujemy jednocześnie dwie kule bez zwracania. Następnie - z

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_