# Matematyka — zadanie 26

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/26
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Zadanie 26. (0-2)
Rozwiąż nierówność
)
2
)(
3
(
4
2
2
>
x
x
x
x
Odpowiedź:

MMA_1P
Rozwiąż nierówność 2x^2-4x >= x-2.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(x \in (-\infty,\ 2) \cup (3,\ +\infty)\)

## Sposób 1 - Sprowadzenie do trójmianu, faktoryzacja

**Krok 1: Rozwiń prawą stronę**

\[(x+3)(x-2) = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6\]

**Krok 2: Przenieś wszystko na lewą stronę**

\[2x^2 - 4x > x^2 + x - 6\]
\[2x^2 - 4x - x^2 - x + 6 > 0\]
\[x^2 - 5x + 6 > 0\]

**Krok 3: Rozłóż trójmian na czynniki**

Szukamy dwóch liczb, których suma = \(-5\) i iloczyn = \(6\). To \(-2\) i \(-3\):

\[x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\]

**Krok 4: Rozwiąż nierówność iloczynową**

\[(x-2)(x-3) > 0\]

Iloczyn jest dodatni, gdy **obydwa czynniki mają ten sam znak**:

| Przedział | \(x - 2\) | \(x - 3\) | Iloczyn |
| \(x < 2\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) ✓ |
| \(2 < x < 3\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) ✗ |
| \(x > 3\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) ✓ |

**Wynik:**
\[\boxed{x \in (-\infty,\ 2) \cup (3,\ +\infty)}\]

## Sposób 2 - Wyróżnik i parabola

Po sprowadzeniu nierówności (tak samo jak wyżej) dostajemy:

\[x^2 - 5x + 6 > 0\]

Wyróżnik trójmianu \(f(x) = x^2 - 5x + 6\):

\[\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\]

Miejsca zerowe:

\[x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2, \qquad x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

Ponieważ **współczynnik wiodący \(a = 1 > 0\)**, parabola jest skierowana ramionami w górę - leży **powyżej osi \(OX\)** na zewnątrz miejsc zerowych.

Stąd \(f(x) > 0\) dla \(x < 2\) lub \(x > 3\), czyli:

\[\boxed{x \in (-\infty,\ 2) \cup (3,\ +\infty)}\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**

\[\Delta = b^2 - 4ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]

Użyliśmy tych wzorów w Sposobie 2 do wyznaczenia miejsc zerowych trójmianu \(x^2 - 5x + 6\), czyli punktów, w których parabola przecina oś \(OX\) - to właśnie te punkty dzielą prostą liczbową na przedziały rozwiązania.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nie przenoś nierówności na drugą stronę bez rozwinięcia nawiasów! Mnożenie przez wyrażenie ze zmienną może zmienić zwrot nierówności - zawsze najpierw przesuń wszystko na jedną stronę i porównuj z zerem.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy iloczynie \((x-2)(x-3) > 0\) uczniowie często przyjmują \(x > 2\) i \(x > 3\), zapominając o przypadku „obydwa ujemne". Zawsze analizuj **obie gałęzie** (\(++\) i \(--\)).

> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **ostra** (\(>\)), więc punkty \(x = 2\) i \(x = 3\) **nie należą** do rozwiązania - przedziały otwarte, bez nawiasów kwadratowych.

**Rozwiązanie: \(x\in(-\infty, 2)\cup(3, +\infty)\)**

### Sposób 1 - Uproszczenie i rozwiązanie nierówności kwadratowej
**Krok 1 - przeniesienie wszystkiego na lewo:**
\[2x^2 - 4x > x^2 + x - 6\]
\[2x^2 - 4x - x^2 - x + 6 > 0\]
\[x^2 - 5x + 6 > 0.\]

**Krok 2 - miejsca zerowe trójmianu:**
\[\Delta = 25 - 24 = 1, \quad \sqrt{\Delta} = 1\]
\[x_1 = \tfrac{5-1}{2} = 2, \quad x_2 = \tfrac{5+1}{2} = 3.\]

**Krok 3 - zbiór rozwiązań:**
Współczynnik przy \(x^2\) dodatni, nierówność \(> 0\) → na zewnątrz pierwiastków:
\[x \in (-\infty, 2)\cup(3, +\infty).\]

### Sposób 2 - Rozkład iloczynowy
\(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\). Nierówność \((x-2)(x-3) > 0\) zachodzi gdy oba czynniki mają ten sam znak:
- oba dodatnie: \(x > 3\)
- oba ujemne: \(x < 2\)

### Sposób 3 - Przez wzory Viète'a
\(x_1+x_2 = 5, x_1 x_2 = 6\). Szukamy dwóch liczb sumujących się do \(5\) i mnożących do \(6\): \(x_1=2, x_2=3\).

**Odpowiedź:** \(x \in (-\infty, 2)\cup(3, +\infty)\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/26)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F26)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 1 1 1 x   ≤     Odpowiedź: Poziom rozszerzony MMA_1R
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 5 10 2 x x x ≤ Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczb
- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/22) — Zadanie 22. (0-4) W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień wypożyczenia.
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-4) Janek, który chodzi ze średnią prędkością 4 , h km a biega ze średnią prędkością 6 , h km zauważył, że biegnąc na popołudniowy trening koszykó

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_