# Matematyka — zadanie 27 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/27 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa) - rok: 2015 - poziom: podstawowa - typ: open - działy: Równania i nierówności ## Treść Zadanie 27. (0-2) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 2 2 4 8 5 0 x xy y ≥ Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. Maks. liczba pkt 2 2 Uzyskana liczba pkt MMA_1P Wykaż, że nierówność 4x^2-8xy+5y^2 >= 0 jest prawdziwa dla x, y w R. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: Nierówność 4x² - 8xy + 5y² ≥ 0 jest prawdziwa dla wszystkich x, y ∈ ℝ. ## Sposób 1 - Suma kwadratów (uzupełnianie do kwadratu) **Idea:** Zapiszemy wyrażenie jako sumę dwóch kwadratów. Kwadraty są zawsze nieujemne, więc ich suma też. Wydzielamy z pierwszych trzech składników pełny kwadrat: \[4x^2 - 8xy + 5y^2 = \underbrace{4x^2 - 8xy + 4y^2}_{(2x-2y)^2} + y^2\] Sprawdzamy przekształcenie: \[(2x - 2y)^2 + y^2 = 4x^2 - 8xy + 4y^2 + y^2 = 4x^2 - 8xy + 5y^2 \checkmark\] Teraz widzimy: \[4x^2 - 8xy + 5y^2 = \underbrace{(2x - 2y)^2}_{\geq\, 0} + \underbrace{y^2}_{\geq\, 0} \geq 0\] **Ponieważ suma dwóch liczb nieujemnych jest nieujemna, nierówność jest udowodniona dla wszystkich \(x, y \in \mathbb{R}\).** Równość \(4x^2 - 8xy + 5y^2 = 0\) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy oba składniki wynoszą zero jednocześnie: \[\begin{cases} (2x - 2y)^2 = 0 \\ y^2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = y \\ y = 0 \end{cases} \implies x = y = 0\] ## Sposób 2 - Trójmian kwadratowy względem x (wyróżnik) **Idea:** Traktujemy wyrażenie jako trójmian kwadratowy w zmiennej \(x\), przy ustalonym \(y\). Pokażemy, że ma on ujemny (lub zerowy) wyróżnik i dodatni współczynnik wiodący - co oznacza, że jest zawsze nieujemny. \[W(x) = 4x^2 + (-8y) \cdot x + 5y^2\] Współczynniki: \(a = 4,\; b = -8y,\; c = 5y^2\). Wyróżnik trójmianu: \[\Delta = b^2 - 4ac = (-8y)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5y^2 = 64y^2 - 80y^2 = -16y^2\] Ponieważ \(y^2 \geq 0\) dla każdego \(y \in \mathbb{R}\), mamy: \[\Delta = -16y^2 \leq 0\] Współczynnik wiodący \(a = 4 > 0\), a \(\Delta \leq 0\), więc trójmian kwadratowy \(W(x)\) **nie ma miejsc zerowych** (lub ma dokładnie jedno, gdy \(y = 0\)) i jest **zawsze nieujemny**: \[4x^2 - 8xy + 5y^2 \geq 0 \quad \text{dla wszystkich } x, y \in \mathbb{R}\] ## Wzory z karty CKE **Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik trójmianu kwadratowego: \[\Delta = b^2 - 4ac\] Własność: jeśli \(a > 0\) i \(\Delta \leq 0\), to \(ax^2 + bx + c \geq 0\) dla wszystkich \(x \in \mathbb{R}\). Użyliśmy tego w Sposobie 2, traktując wyrażenie jako trójmian w \(x\). **Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):** \[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \geq 0\] Użyliśmy tego w Sposobie 1, wyłuskując \((2x - 2y)^2 = 4x^2 - 8xy + 4y^2\). ## Typowe pułapki i uwaga > ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno „dowodzić" nierówności przez podstawienie konkretnych liczb (np. \(x=1, y=1\)). To tylko weryfikacja - nie dowód dla WSZYSTKICH \(x, y\). > ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 kluczowe jest dopasowanie kwadratów tak, żeby reszta była **nieujemna** - tu wychodzi \(+y^2\). Gdyby wyszło \(-y^2\), metoda by nie zadziałała i trzeba by podzielić inaczej. > ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 pamiętaj, że warunek \(\Delta \leq 0\) i \(a > 0\) daje \(W(x) \geq 0\) - ale gdyby \(a < 0\), byłoby odwrotnie! Zawsze sprawdzaj znak \(a\). **Dowód.** ### Sposób 1 - Rozkład na sumę kwadratów Rozbijamy wyrażenie tak, aby uzyskać kwadrat dwumianu plus nieujemny składnik: \[4x^2 - 8xy + 5y^2 = (4x^2 - 8xy + 4y^2) + y^2 = (2x - 2y)^2 + y^2.\] Każdy kwadrat liczby rzeczywistej jest \(\ge 0\), więc: \[(2x-2y)^2 \ge 0, \quad y^2 \ge 0 \Rightarrow (2x-2y)^2 + y^2 \ge 0.\] Zatem \(4x^2 - 8xy + 5y^2 \ge 0\) dla dowolnych \(x, y \in \mathbb{R}\). \(\blacksquare\) ### Sposób 2 - Traktowanie jak trójmian kwadratowy w \(x\) Ustaliwszy \(y\), rozważmy \(f(x) = 4x^2 - 8xy + 5y^2\) jako trójmian kwadratowy zmiennej \(x\): - współczynnik przy \(x^2\): \(a = 4 > 0\) - wyróżnik: \(\Delta = (-8y)^2 - 4\cdot 4\cdot 5y^2 = 64y^2 - 80y^2 = -16y^2 \le 0.\) \(a > 0\) i \(\Delta \le 0\) oznacza, że \(f(x) \ge 0\) dla wszystkich \(x\). \(\blacksquare\) ### Sposób 3 - Nierówność \(x^2 + y^2 \ge 2xy\) Znana nierówność: \(x^2 + y^2 \ge 2xy\) (wynika z \((x-y)^2 \ge 0\)). Mnożąc przez \(4\): \[4x^2 + 4y^2 \ge 8xy \Rightarrow 4x^2 - 8xy + 4y^2 \ge 0.\] Dodając \(y^2 \ge 0\): \[4x^2 - 8xy + 5y^2 \ge 0. \quad \blacksquare\] **Uwaga:** klucz polega na rozpoznaniu \((2x - 2y)^2\) w wyrażeniu - to najszybsza metoda. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/27) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F27) ## Podobne zadania - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (0-3) Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑦 prawdziwa jest nierówność 1 𝑥+ 1 𝑦≤𝑥 𝑦2 + 𝑦 𝑥 - [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (0-3) Liczby rzeczywiste 𝑥 oraz 𝑦 spełniają jednocześnie równanie 𝑥+ 𝑦= 4 i nierówność 𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3. Wykaż, że 𝒙= 𝟐 oraz 𝒚= 𝟐. 4. 0-1- 2-3 MMAP-R0 - [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (3 pkt) Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność 2 2 2 2 2 2 8 4 0 x y x y xy > Poziom rozszerzony MMA_ - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2017-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (0-3) Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 2 2 5 4 6 9 0 x y xy x ≥ MMA_1R Udo _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_