# Matematyka — zadanie 28

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/28
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Planimetria

## Treść

Dany jest kwadrat ABCD . Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E . Punkty K i M środkami odcinków - odpowiednio - AE i _EC Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że 1 1 BL = BE i DN = DE

/matma-quiz/images/cke/MMA-P1_1P-152/z28.png

. Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN 3 3 do pola kwadratu ABCD jest równy 1: 3. D C N M E L K A B

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: $\dfrac{P_{KLMN}}{P_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}$

(Zadanie otwarte - treść do udowodnienia. Wynik: stosunek wynosi \(\frac{1}{3}\), czyli \(1:3\).)

## Sposób 1 - Układ współrzędnych + wzór Gaussa (sznurowadło)

**Ustawiamy współrzędne.** Niech kwadrat \(ABCD\) ma bok \(a\) i wierzchołki:
\[
A = (0,\, 0),\quad B = (a,\, 0),\quad C = (a,\, a),\quad D = (0,\, a).
\]

**Wyznaczamy punkt środkowy przekątnych** - punkt \(E\):
\[
E = \left(\frac{a}{2},\, \frac{a}{2}\right).
\]

**Wyznaczamy punkty \(K\) i \(M\)** (środki \(AE\) i \(EC\)):
\[
K = \frac{A + E}{2} = \left(\frac{a}{4},\, \frac{a}{4}\right),\qquad M = \frac{E + C}{2} = \left(\frac{3a}{4},\, \frac{3a}{4}\right).
\]

**Wyznaczamy punkt \(L\)** (na \(BD\), przy czym \(|BL| = \tfrac{1}{3}|BE|\)):
\[
L = B + \frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BE} = (a, 0) + \frac{1}{3}\left(-\frac{a}{2},\, \frac{a}{2}\right) = \left(\frac{5a}{6},\, \frac{a}{6}\right).
\]

**Wyznaczamy punkt \(N\)** (na \(BD\), przy czym \(|DN| = \tfrac{1}{3}|DE|\)):
\[
N = D + \frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{DE} = (0, a) + \frac{1}{3}\left(\frac{a}{2},\, -\frac{a}{2}\right) = \left(\frac{a}{6},\, \frac{5a}{6}\right).
\]

**Liczymy pole czworokąta \(KLMN\) wzorem sznurowadła** (wierzchołki po kolei: \(K, L, M, N\)):

\[
P_{KLMN} = \frac{1}{2}\,\bigl|(x_K y_L - x_L y_K) + (x_L y_M - x_M y_L) + (x_M y_N - x_N y_M) + (x_N y_K - x_K y_N)\bigr|
\]

Obliczamy każdy składnik:

\[
x_K y_L - x_L y_K = \frac{a}{4}\cdot\frac{a}{6} - \frac{5a}{6}\cdot\frac{a}{4} = \frac{a^2}{24} - \frac{5a^2}{24} = -\frac{a^2}{6}
\]
\[
x_L y_M - x_M y_L = \frac{5a}{6}\cdot\frac{3a}{4} - \frac{3a}{4}\cdot\frac{a}{6} = \frac{15a^2}{24} - \frac{3a^2}{24} = \frac{a^2}{2}
\]
\[
x_M y_N - x_N y_M = \frac{3a}{4}\cdot\frac{5a}{6} - \frac{a}{6}\cdot\frac{3a}{4} = \frac{15a^2}{24} - \frac{3a^2}{24} = \frac{a^2}{2}
\]
\[
x_N y_K - x_K y_N = \frac{a}{6}\cdot\frac{a}{4} - \frac{a}{4}\cdot\frac{5a}{6} = \frac{a^2}{24} - \frac{5a^2}{24} = -\frac{a^2}{6}
\]

Suma:
\[
-\frac{a^2}{6} + \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{6} = -\frac{a^2}{3} + a^2 = \frac{2a^2}{3}
\]

Zatem:
\[
\boxed{P_{KLMN} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2a^2}{3} = \frac{a^2}{3}}
\]

Pole kwadratu to \(P_{ABCD} = a^2\), więc:
\[
\frac{P_{KLMN}}{P_{ABCD}} = \frac{a^2/3}{a^2} = \frac{1}{3}
\]

**Stosunek pól wynosi \(1:3\). \(\square\)**

## Sposób 2 - Geometryczny (prostopadłe przekątne czworokąta)

**Kluczowa obserwacja:** czworokąt \(KLMN\) ma przekątne leżące na przekątnych kwadratu!

- Przekątna \(KM\) leży na prostej \(AC\) (bo \(K \in AE \subset AC\) i \(M \in EC \subset AC\)).
- Przekątna \(LN\) leży na prostej \(BD\) (bo \(L, N \in BD\)).

Ponieważ **przekątne kwadratu są prostopadłe**, mamy \(KM \perp LN\).

**Wyznaczamy długości przekątnych czworokąta.**

Niech \(d = |AC| = |BD|\) będzie długością przekątnej kwadratu.

Dla \(|KM|\):
- \(|AE| = \tfrac{d}{2}\), \(K\) to środek \(AE\), więc \(|AK| = \tfrac{d}{4}\)
- \(|EC| = \tfrac{d}{2}\), \(M\) to środek \(EC\), więc \(|EM| = \tfrac{d}{4}\)

Stąd:
\[
|KM| = |AK| + |AE| - |AE| + |EM|
\]

Inaczej: \(K\) leży w \(\tfrac{1}{4}d\) od \(A\), a \(M\) w \(\tfrac{3}{4}d\) od \(A\), więc:
\[
|KM| = \frac{3d}{4} - \frac{d}{4} = \frac{d}{2}
\]

Dla \(|LN|\):
- \(|BE| = \tfrac{d}{2}\), więc \(|BL| = \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{d}{2} = \tfrac{d}{6}\)
- \(|DE| = \tfrac{d}{2}\), więc \(|DN| = \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{d}{2} = \tfrac{d}{6}\)

Stąd:
\[
|LN| = d - |BL| - |DN| = d - \frac{d}{6} - \frac{d}{6} = d - \frac{d}{3} = \frac{2d}{3}
\]

**Sprawdzamy, że \(E\) leży wewnątrz \(KLMN\)** (potrzebne do zastosowania wzoru):
- \(E\) leży między \(K\) i \(M\) na \(AC\) (bo \(K\) jest w \(\tfrac{1}{4}d\) od \(A\), \(E\) w \(\tfrac{1}{2}d\), \(M\) w \(\tfrac{3}{4}d\)). ✓
- \(E\) leży między \(L\) i \(N\) na \(BD\) (bo \(L\) jest w \(\tfrac{1}{6}d\) od \(B\), \(E\) w \(\tfrac{1}{2}d\), \(N\) w \(\tfrac{5}{6}d\) od \(B\)). ✓

**Stosujemy wzór na pole czworokąta z prostopadłymi przekątnymi:**

Dla czworokąta, którego przekątne są prostopadłe i przecinają się wewnątrz:
\[
P = \frac{1}{2}\cdot d_1 \cdot d_2
\]

Zatem:
\[
P_{KLMN} = \frac{1}{2}\cdot|KM|\cdot|LN| = \frac{1}{2}\cdot\frac{d}{2}\cdot\frac{2d}{3} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2d^2}{6} = \frac{d^2}{6}
\]

Pole kwadratu wyrażone przez przekątną \(d\): ze wzoru \(d = a\sqrt{2}\) wynika \(a^2 = \tfrac{d^2}{2}\), więc \(P_{ABCD} = \dfrac{d^2}{2}\).

\[
\frac{P_{KLMN}}{P_{ABCD}} = \frac{d^2/6}{d^2/2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]

**Stosunek pól wynosi \(1:3\). \(\square\)**

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wzór na pole trójkąta ze współrzędnych (uogólnienie: wzór sznurowadła):
\[
P = \frac{1}{2}|(x_A y_B - x_B y_A) + (x_B y_C - x_C y_B) + (x_C y_A - x_A y_C)|
\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia pola czworokąta \(KLMN\).

**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole rombusi/czworokątu z prostopadłymi przekątnymi:
\[
P = \frac{1}{2}|AC|\cdot|BD|
\]
To jest właśnie wzór na romb/deltoid. W Sposobie 2 zastosowaliśmy jego ogólniejszą wersję dla czworokątu z prostopadłymi przekątnymi.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, który odcinek to przekątna \(KLMN\), a który bok. W czworokącie \(KLMN\) wierzchołki naprzemiennie leżą na \(AC\) i \(BD\) - zatem \(KM\) i \(LN\) to **przekątne**, nie boki.

> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \(P = \frac{1}{2}d_1 d_2\) na pole z prostopadłymi przekątnymi działa tylko wtedy, gdy przekątne **przecinają się wewnątrz** czworokąta. Zawsze warto to sprawdzić!

> ⚠️ **Uwaga:** \(|LN| \neq \frac{2}{3}|BE|\). Wiele osób liczy \(|LN| = |BE| - |BL| + |DE| - |DN|\), zapominając, że \(L\) i \(N\) leżą po **różnych stronach** \(E\) na całej przekątnej \(BD\). Poprawnie: \(|LN| = |BD| - |BL| - |DN| = d - \frac{d}{6} - \frac{d}{6} = \frac{2d}{3}\).

**Dowód.**

### Sposób 1 - Przez długości przekątnych czworokąta KLMN
Oznaczmy długość boku kwadratu przez \(a\). Wtedy przekątne \(|AC| = |BD| = d = a\sqrt{2}\), a \(|AE| = |BE| = |CE| = |DE| = \tfrac{d}{2}\).

**Przekątne czworokąta \(KLMN\):**
- \(|KM| = |KE| + |EM| = \tfrac{1}{2}|AE| + \tfrac{1}{2}|EC| = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{d}{2} + \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{d}{2} = \tfrac{d}{2}.\)
- \(|LN| = |LE| + |EN| = \tfrac{2}{3}|BE| + \tfrac{2}{3}|DE| = \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{d}{2} + \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{d}{2} = \tfrac{2d}{3}.\)

Przekątne \(KM\) i \(LN\) leżą na \(AC\) i \(BD\) - są prostopadłe (przekątne kwadratu). Pole czworokąta o prostopadłych przekątnych:
\[P_{KLMN} = \tfrac{1}{2}|KM|\cdot|LN| = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{d}{2}\cdot\tfrac{2d}{3} = \tfrac{d^2}{6}.\]

**Pole kwadratu:** \(P_{ABCD} = a^2 = \tfrac{d^2}{2}\) (bo \(d = a\sqrt{2}\)).

**Stosunek:**
\[\tfrac{P_{KLMN}}{P_{ABCD}} = \tfrac{d^2/6}{d^2/2} = \tfrac{1}{3}. \quad \blacksquare\]

### Sposób 2 - Przez pole trójkąta KEN
Czworokąt \(KLMN\) składa się z 4 trójkątów przystających \(KEN, LEK, MEL, NEM\) (każdy ma przyprostokątne \(|KE| = \tfrac{d}{4}\) i \(|EN| = \tfrac{d}{3}\)).

Pole jednego trójkąta:
\[P = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{d}{4}\cdot\tfrac{d}{3} = \tfrac{d^2}{24} = \tfrac{(a\sqrt{2})^2}{24} = \tfrac{2a^2}{24} = \tfrac{a^2}{12}.\]

Cztery trójkąty: \(P_{KLMN} = 4\cdot\tfrac{a^2}{12} = \tfrac{a^2}{3}\).

\[\tfrac{P_{KLMN}}{P_{ABCD}} = \tfrac{a^2/3}{a^2} = \tfrac{1}{3}. \quad \blacksquare\]

**Kluczowe:** przekątne czworokąta \(KLMN\) są prostopadłe (bo leżą na \(AC \perp BD\)), co pozwala użyć wzoru \(P = \tfrac{1}{2}d_1 d_2\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/28)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F28)

## Podobne zadania

- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (4 pkt) Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH (zobacz rysunek). Udowodnij, że AC FG A B C D G H E F Poziom rozszerzony
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (4 pkt) W dowolnym trójkącie ABC punkty M i N są odpowiednio środkami boków AC i BC (Rys. 1). Zapoznaj się uważnie z następującym rozumowaniem: Korz
- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (4 pkt) W trójkącie prostokątnym ABC ( 90 BCA = D ) ) dane są długości przyprostokątnych: a BC = i b CA = . Dwusieczna kąta prostego tego trójkąta p
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-3) W trapezie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 przez punkt 𝑂 przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków 𝐵𝐶 i 𝐴𝐷. Prosta równ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_