# Matematyka — zadanie 29

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/29
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Funkcje

## Treść

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \(f(x) = x^{2} - 6x + 3\) w przedziale \(\langle 0, 4 \rangle\).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź:

**Najmniejsza wartość funkcji:** \(f_{\min} = -6\) (osiągana dla \(x = 3\))

**Największa wartość funkcji:** \(f_{\max} = 3\) (osiągana dla \(x = 0\))

## Sposób 1 - postać kanoniczna i analiza na przedziale

**Krok 1: Wyznaczamy wierzchołek paraboli.**

Mamy \(f(x) = x^2 - 6x + 3\), gdzie \(a = 1,\ b = -6,\ c = 3\).

\[p = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\]

\[q = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 3 = 9 - 18 + 3 = -6\]

Postać kanoniczna: \(f(x) = (x - 3)^2 - 6\)

Wierzchołek paraboli: \(W = (3, -6)\).

**Krok 2: Sprawdzamy, czy wierzchołek leży w przedziale.**

Przedział zamknięty to \(\langle 0, 4 \rangle\). Ponieważ \(3 \in \langle 0, 4 \rangle\), a ramiona paraboli są skierowane **w górę** (\(a = 1 > 0\)), wierzchołek jest **minimum globalnym** funkcji - i leży wewnątrz przedziału.

\[\boxed{f_{\min} = f(3) = -6}\]

**Krok 3: Obliczamy wartości na końcach przedziału.**

Skoro minimum jest w środku, maksimum musi być na jednym z krańców. Liczymy:

\[f(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 + 3 = 3\]

\[f(4) = 4^2 - 6 \cdot 4 + 3 = 16 - 24 + 3 = -5\]

**Krok 4: Porównujemy wartości na końcach.**

\[f(0) = 3 > f(4) = -5\]

Większa wartość to \(3\), zatem:

\[\boxed{f_{\max} = f(0) = 3}\]

**Odpowiedź:** najmniejsza wartość to \(-6\), największa to \(3\).

## Sposób 2 - tabela wartości i geometria paraboli

Ponieważ \(a > 0\), parabola ma ramiona skierowane ku górze - funkcja maleje do wierzchołka, a potem rośnie.

Wyznaczamy wierzchołek: \(p = 3\) (tak jak w Sposobie 1).

Teraz rysujemy zachowanie funkcji na przedziale \(\langle 0, 4 \rangle\):

| \(x\) | \(f(x)\) | Opis |
| \(0\) | \(3\) | lewy kraniec |
| \(3\) | \(-6\) | wierzchołek (minimum!) |
| \(4\) | \(-5\) | prawy kraniec |

Odczytujemy wprost z tabeli:
- Najmniejsza wartość: \(-6\) dla \(x = 3\)
- Największa wartość: \(3\) dla \(x = 0\)

**Weryfikacja postacią kanoniczną:**

\(f(x) = (x-3)^2 - 6 \geq -6\) dla każdego \(x\), bo \((x-3)^2 \geq 0\). Równość zachodzi gdy \(x = 3\) ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wierzchołek paraboli:
\[p = -\frac{b}{2a}, \qquad q = -\frac{\Delta}{4a}\]
Użyte do wyznaczenia punktu, w którym funkcja osiąga minimum.

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna:
\[f(x) = a(x - p)^2 + q\]
Dzięki niej od razu widać, że \(f(x) \geq q\), bo kwadrat jest nieujemny.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli wierzchołek leży **poza przedziałem**, minimum (lub maksimum) na tym przedziale wcale nie jest w wierzchołku - trzeba porównać tylko wartości na końcach. Zawsze sprawdzaj, czy \(p \in \langle a, b \rangle\)!

> ⚠️ **Uwaga:** Przy szukaniu **maksimum** paraboli z ramionami w górę (\(a > 0\)) na przedziale - nigdy nie będzie ono w wierzchołku (tam jest minimum). Porównujesz wartości wyłącznie w punktach \(x = a\) i \(x = b\) (i w wierzchołku, jeśli leży w przedziale, ale tylko dla minimum).

> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij sprawdzić **obu** końców przedziału - typowy błąd to policzenie tylko jednego z nich i uznanie go za maksimum bez porównania.

**Odpowiedź: min \(f = -6\) w \(x=3\); max \(f = 3\) w \(x=0\)**

### Sposób 1 - Wierzchołek paraboli + końce przedziału
**Krok 1 - wierzchołek:**
\[x_w = -\tfrac{b}{2a} = -\tfrac{-6}{2} = 3.\]
Sprawdzamy, czy \(x_w \in \langle 0, 4\rangle\): \(0 \le 3 \le 4\) ✓.

**Krok 2 - wartość minimum (bo parabola z ramionami w górę):**
\[f(3) = 9 - 18 + 3 = -6.\]

**Krok 3 - wartość maximum to na końcach przedziału:**
- \(f(0) = 0 - 0 + 3 = 3\)
- \(f(4) = 16 - 24 + 3 = -5\)

Większa: \(f(0) = 3\).

**Wynik:** min \(= -6\) dla \(x = 3\); max \(= 3\) dla \(x = 0\).

### Sposób 2 - Postać kanoniczna
\[f(x) = x^2 - 6x + 3 = (x-3)^2 - 6.\]
Minimum \(-6\) osiągane w \(x = 3\). Na końcach:
\[f(0) = (0-3)^2 - 6 = 9 - 6 = 3\]
\[f(4) = (4-3)^2 - 6 = 1 - 6 = -5.\]
Max = \(3\) (w \(x=0\)).

**Odpowiedź:** \(f_{\min} = -6\), \(f_{\max} = 3\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/29)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F29)

## Podobne zadania

- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/9) — Zadanie 9. (5 pkt) Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej ( ) ( )( ) 2 1 2 f x x x w przedziale 2, 2 Nr zadania 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 Maks. l
- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (0-2) Wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 jest parabola o wierzchołku w punkcie 𝐴= (0, 3). Punkt 𝐵= (2, 0) leży na wykresie funkcji 𝑓. Wyznacz wzór funkc
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/13) — Zadanie 13. (0-1) W chwili 𝑡= 0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość ℎ, na której znajduje się piłeczka w danej chwili 𝑡,
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/9) — Miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = (2p-1)x+ p jest liczba (-4) . Wtedy A. \(p = \dfrac{4}{9}\) B. \(p = \dfrac{4}{7}\) C. \(p = -4\) D. \(p = -\dfrac{4}{7

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_