# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Układy równań, liczby

## Treść

Zadanie 31. (0-2)
Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego
licznika, to otrzymamy 4
7 , a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy 1
2 .
Wyznacz ten ułamek.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

MMA_1P

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(\dfrac{8}{17}\)

## Sposób 1 - Układ równań (podstawienie)

**Oznaczenia.** Szukany ułamek to \(\dfrac{p}{q}\), gdzie \(p, q \in \mathbb{Z}^+\) i \(\text{NWD}(p, q) = 1\).

**Warunek 1:** Do licznika i mianownika dodajemy połowę licznika, czyli \(\dfrac{p}{2}\):

\[\frac{p + \dfrac{p}{2}}{q + \dfrac{p}{2}} = \frac{4}{7}\]

Upraszczamy licznik: \(p + \dfrac{p}{2} = \dfrac{3p}{2}\), więc:

\[\frac{\dfrac{3p}{2}}{q + \dfrac{p}{2}} = \frac{4}{7}\]

Mnożymy na krzyż:

\[7 \cdot \frac{3p}{2} = 4\left(q + \frac{p}{2}\right)\]

\[\frac{21p}{2} = 4q + \frac{4p}{2}\]

Mnożymy obie strony przez \(2\):

\[21p = 8q + 4p\]

\[\boxed{17p = 8q} \quad \text{(równanie I)}\]

**Warunek 2:** Do licznika i mianownika dodajemy \(1\):

\[\frac{p + 1}{q + 1} = \frac{1}{2}\]

Mnożymy na krzyż:

\[2(p + 1) = q + 1\]

\[2p + 2 = q + 1\]

\[\boxed{q = 2p + 1} \quad \text{(równanie II)}\]

**Rozwiązanie układu.** Podstawiamy równanie II do równania I:

\[17p = 8(2p + 1)\]

\[17p = 16p + 8\]

\[p = 8\]

Stąd:

\[q = 2 \cdot 8 + 1 = 17\]

**Szukany ułamek to \(\dfrac{8}{17}\).**

Sprawdzamy nieskracalność: \(\text{NWD}(8, 17) = 1\) ✓ (17 jest liczbą pierwszą, nie dzieli 8).

## Sposób 2 - Weryfikacja warunków

Sprawdzamy oba warunki dla \(\dfrac{8}{17}\):

**Warunek 1** - dodajemy połowę licznika, czyli \(\dfrac{8}{2} = 4\), do licznika i mianownika:

\[\frac{8 + 4}{17 + 4} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7} \checkmark\]

**Warunek 2** - dodajemy \(1\) do licznika i mianownika:

\[\frac{8 + 1}{17 + 1} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \checkmark\]

Oba warunki spełnione. **Odpowiedź \(\dfrac{8}{17}\) jest poprawna.**

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność układania równań i rozwiązywania układu dwóch równań liniowych (metoda podstawiania). Zadanie dotyczy rachunku na ułamkach i proporcjach.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** „Połowa licznika" to \(\dfrac{p}{2}\), nie \(2p\). Błąd w tym miejscu prowadzi do całkowicie innego układu i złego wyniku.

> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc na krzyż przy równaniu \(\dfrac{3p/2}{q + p/2} = \dfrac{4}{7}\), pamiętaj że po lewej stronie masz ułamek złożony - uprość go najpierw lub pomnóż obie strony przez \(2\), żeby pozbyć się małego ułamka.

> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź na końcu, czy ułamek jest **nieskracalny** - zadanie tego wymaga i może stanowić dodatkowy krok oceniany przez egzaminatora.

**Odpowiedź: Ułamek \(\dfrac{8}{17}\)**

### Sposób 1 - Układ równań z dwiema niewiadomymi
Niech \(x\) - licznik, \(y\) - mianownik.

**Warunek 1:**
\[\tfrac{x + \tfrac{1}{2}x}{y + \tfrac{1}{2}x} = \tfrac{4}{7}\]
\[\tfrac{\tfrac{3}{2}x}{y + \tfrac{1}{2}x} = \tfrac{4}{7}\]
\[7\cdot\tfrac{3}{2}x = 4\left(y + \tfrac{1}{2}x\right)\]
\[\tfrac{21x}{2} = 4y + 2x\]
\[21x - 4x = 8y \Rightarrow 17x = 8y \Rightarrow \tfrac{x}{y} = \tfrac{8}{17}.\]

**Warunek 2 (sprawdzenie):**
\[\tfrac{x+1}{y+1} = \tfrac{8+1}{17+1} = \tfrac{9}{18} = \tfrac{1}{2} \quad ✓\]

**Odpowiedź:** \(\tfrac{8}{17}\). Sprawdzamy też nieskracalność: \(\gcd(8, 17) = 1\) ✓.

### Sposób 2 - Przez zależność warunku 1
Z warunku 1 wyciągamy wniosek:
\[21x = 8y + 4x \Rightarrow 17x = 8y \Rightarrow \tfrac{x}{y} = \tfrac{8}{17}.\]
To od razu daje odpowiedź - dodajemy warunek 2 tylko jako sprawdzenie.

**Wniosek:** ułamek to \(\tfrac{8}{17}\), jest nieskracalny i spełnia oba warunki.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2012-operon-probna-rozszerzona/zad/11) — Rozwiąż układ równań cases y - |x-2| = 0 x^2 - 4x + y^2 = -2 cases . [odp_otwarta1]

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_