# Matematyka — zadanie 33 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/33 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa) - rok: 2015 - poziom: podstawowa - typ: open - działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka ## Treść Zadanie 33. (0-4) Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne. Rodzaj kupionych biletów Liczba osób ulgowe 76 normalne 41 Uwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka. MMA_1P Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 33. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczba pkt MMA_1P Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: \(\dfrac{5}{23}\) ## Sposób 1 - Diagram Venna + zasada włączeń i wyłączeń **Krok 1: Ile osób kupiło przynajmniej jeden rodzaj biletu?** Oznaczmy: - \(U\) = zbiór osób, które kupiły bilet ulgowy, \(|U| = 76\) - \(N\) = zbiór osób, które kupiły bilet normalny, \(|N| = 41\) - \(|U \cap N| = 27\) (obie) Stosujemy **zasadę włączeń i wyłączeń**: \[|U \cup N| = |U| + |N| - |U \cap N| = 76 + 41 - 27 = 90\] **Krok 2: Ile osób nie kupiło żadnego biletu?** \[\text{brak biletu} = 115 - |U \cup N| = 115 - 90 = 25\] **Krok 3: Prawdopodobieństwo** Przestrzeń zdarzeń elementarnych: \(|\Omega| = 115\) osób, wylosowanie każdej - jednakowo prawdopodobne. \[P(\text{brak biletu}) = \frac{25}{115}\] **Krok 4: Uproszczenie ułamka** \[\gcd(25,\, 115) = 5\] \[\frac{25}{115} = \frac{25 : 5}{115 : 5} = \boxed{\frac{5}{23}}\] Ułamek \(\frac{5}{23}\) jest nieskracalny, bo \(23\) jest liczbą pierwszą i \(23 \nmid 5\). ## Sposób 2 - Analiza struktury metodą tabelaryczną Rozpisujemy, kto co kupił: | Grupa | Liczba osób | | Tylko ulgowy (nie normalny) | \(76 - 27 = 49\) | | Tylko normalny (nie ulgowy) | \(41 - 27 = 14\) | | Obydwa | \(27\) | | **Suma kupujących** | \(49 + 14 + 27 = 90\) | | **Żadnego** | \(115 - 90 = 25\) | Sprawdzenie: \(49 + 14 + 27 + 25 = 115\) ✓ \[P(\text{żadnego}) = \frac{25}{115} = \frac{5}{23}\] ## Wzory z karty CKE **Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne: \[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\] Użyliśmy tego do wyznaczenia prawdopodobieństwa na podstawie liczności zdarzeń sprzyjających i całej przestrzeni. Dodatkowo korzystamy z **zasady włączeń i wyłączeń** (kombinatoryka / teoria zbiorów, karta s. 28-29): \[|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\] ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **dodanie** 76 + 41 = 117 jako liczby kupujących - to daje więcej niż 115 ankietowanych! Trzeba odjąć osoby kupujące oba rodzaje, bo zostały policzone dwukrotnie. > ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić zdarzenie "brak biletu" z \(\frac{27}{115}\) (obu) albo \(\frac{41}{115}\) (tylko normalny). Przeczytaj uważnie: pytamy o osoby, które **nie kupiły żadnego**. > ⚠️ **Uwaga:** Wynik musi być nieskracalny - zawsze sprawdź \(\gcd\) licznika i mianownika. Tu \(\gcd(25, 115) = 5\), więc upraszczamy do \(\frac{5}{23}\). **Odpowiedź: \(P = \dfrac{5}{23}\)** ### Sposób 1 - Wzór włączeń i wyłączeń **Krok 1 - liczba osób, które kupiły co najmniej jeden bilet:** \[|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B| = 76 + 41 - 27 = 90.\] **Krok 2 - liczba osób, które nie kupiły żadnego:** \[|C| = 115 - 90 = 25.\] **Krok 3 - prawdopodobieństwo:** \[P(C) = \tfrac{25}{115} = \tfrac{25:5}{115:5} = \tfrac{5}{23}.\] Sprawdzamy nieskracalność: \(\gcd(5, 23) = 1\) ✓. ### Sposób 2 - Diagram Venna Podział \(115\) osób: - **tylko ulgowe** (U bez N): \(76 - 27 = 49\) - **tylko normalne** (N bez U): \(41 - 27 = 14\) - **oba** (U∩N): \(27\) - **żadne**: \(115 - (49+14+27) = 115 - 90 = 25\) \[P(C) = \tfrac{25}{115} = \tfrac{5}{23}.\] **Odpowiedź:** \(P = \tfrac{5}{23}\). ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/33) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F33) ## Podobne zadania - [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (0-4) Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile o - [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-2) Wśród 390 pracowników pewnej firmy jest 150 kobiet i 240 mężczyzn. Wśród nich w wieku przedemerytalnym jest 21 kobiet i 43 mężczyzn. Oblicz pra - [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (0-2) W eksperymencie badano kiełkowanie nasion w pięciu donicach. Na koniec eksperymentu policzono wykiełkowane nasiona w każdej z donic: w I donic - [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (0-2) Wśród 10 tysięcy mieszkańców pewnego miasta przeprowadzono sondaż dotyczący budowy przedszkola publicznego. Wyniki sondażu przedstawiono w tabe _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_