# Matematyka — zadanie 34 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/34 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa) - rok: 2015 - poziom: podstawowa - typ: open - działy: Ciągi, średnia arytmetyczna, statystyka ## Treść Zadanie 34. (0-5) W nieskończonym ciągu arytmetycznym ( ) na , określonym dla 1 n ≥, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy 1a , 3a , ka ciągu ( ) na , w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny ( ) nb . Oblicz k. MMA_1P Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 34. Maks. liczba pkt 5 Uzyskana liczba pkt MMA_1P BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) W ciągu arytmetycznym (a_n) określonym dla n >= 1 dane są a_1=-4 i r=2. Którym wyrazem tego ciągu jest liczba 156? A. 81, B. 80, C. 76, D. 77. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: \(k = 11\) ## Sposób 1 - Układ równań z warunków zadania **Krok 1: Ustalamy niewiadome.** Niech \(a_1\) - pierwszy wyraz, \(r\) - różnica ciągu arytmetycznego. Wzór ogólny: \(a_n = a_1 + (n-1)r\) **Krok 2: Warunek I - suma 11 wyrazów.** \[S_{11} = \frac{11}{2}(2a_1 + 10r) = 11(a_1 + 5r) = 187\] \[a_1 + 5r = 17 \quad \text{ (I)}\] Zauważ, że \(a_1 + 5r = a_6\), więc szósty wyraz to \(a_6 = 17\). **Krok 3: Warunek II - średnia arytmetyczna.** \[\frac{a_1 + a_3 + a_9}{3} = 12 \implies a_1 + a_3 + a_9 = 36\] \[a_1 + (a_1 + 2r) + (a_1 + 8r) = 36\] \[3a_1 + 10r = 36 \quad \text{ (II)}\] **Krok 4: Rozwiązujemy układ.** Z (I): \(2a_1 + 10r = 34\). Odejmujemy od (II): \[(3a_1 + 10r) - (2a_1 + 10r) = 36 - 34\] \[a_1 = 2\] Podstawiamy do (I): \[2 + 5r = 17 \implies r = 3\] **Ciąg arytmetyczny:** \(a_n = 2 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 1\) Kolejne wyrazy: \(2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, \ldots\) **Krok 5: Warunek ciągu geometrycznego.** Mamy: \[a_1 = 2, \quad a_3 = 3\cdot 3 - 1 = 8, \quad a_k = 3k - 1\] Warunek ciągu geometrycznego: środkowy wyraz do kwadratu równa się iloczynowi skrajnych: \[a_3^2 = a_1 \cdot a_k\] \[8^2 = 2 \cdot (3k - 1)\] \[64 = 6k - 2\] \[6k = 66\] \[\boxed{k = 11}\] ## Sposób 2 - Iloraz ciągu geometrycznego Znamy już \(a_1 = 2\), \(a_3 = 8\). Wyznaczamy iloraz ciągu \((b_n)\): \[q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{a_3}{a_1} = \frac{8}{2} = 4\] Trzeci wyraz ciągu geometrycznego: \[b_3 = a_3 \cdot q = 8 \cdot 4 = 32\] Szukamy \(k\) takiego, że \(a_k = 32\): \[3k - 1 = 32 \implies 3k = 33 \implies k = 11\] **Weryfikacja:** \(a_1 = 2,\; a_3 = 8,\; a_{11} = 32\) \[\frac{8}{2} = 4, \quad \frac{32}{8} = 4 \quad \checkmark\] Ciąg \(2, 8, 32\) jest geometryczny z ilorazem \(q = 4\). ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego: \[S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n\] Użyliśmy go w Kroku 2 do wyprowadzenia równania (I). **Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego: \[a_n = a_1 + (n-1)r\] Użyliśmy go do obliczenia \(a_3\), \(a_9\) oraz ogólnego \(a_k\). **Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność ciągu geometrycznego: \[(a_n)^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}\] W uogólnieniu: dla trzech wyrazów ciągu geometrycznego \(b_1, b_2, b_3\) zachodzi \(b_2^2 = b_1 \cdot b_3\). To był kluczowy warunek w Kroku 5. **Dział 15 (Statystyka, s. 31)** - definicja średniej arytmetycznej: \[\bar{a} = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}\] Użyliśmy jej do interpretacji warunku II z zadania. ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Warunek ciągu geometrycznego to \(a_3^2 = a_1 \cdot a_k\) - **nie** \(a_3 - a_1 = a_k - a_3\) (to byłby warunek arytmetyczny). Łatwo pomylić oba warunki pod presją egzaminacyjną! > ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu sumy \(a_1 + a_3 + a_9\) należy dokładnie rozpisać \(a_3 = a_1 + 2r\) i \(a_9 = a_1 + 8r\) - błędem jest napisanie np. \(a_9 = a_1 + 9r\) (pomylenie numeru wyrazu z liczbą kroków). > ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy iloraz \(q\) ciągu geometrycznego jest dobrze policzony - tu \(q = \frac{a_3}{a_1} = \frac{8}{2} = 4\), a nie \(\frac{a_1}{a_3}\). Odwrotny ułamek daje błędne \(k\). **Odpowiedź: \(k = 11\)** ### Sposób 1 - Pełne rozwiązanie krok po kroku **Krok 1 - warunek sumy \(S_{11} = 187\):** \[S_{11} = \tfrac{2a_1 + 10r}{2}\cdot 11 = 11(a_1 + 5r) = 187\] \[\Rightarrow a_1 + 5r = 17. \quad (\star)\] **Krok 2 - warunek średniej:** \[\tfrac{a_1 + a_3 + a_9}{3} = 12\] \[a_1 + (a_1 + 2r) + (a_1 + 8r) = 36\] \[3a_1 + 10r = 36\] \[a_1 + \tfrac{10}{3}r = 12. \quad (\star\star)\] **Krok 3 - rozwiązanie układu \((\star), (\star\star)\):** Odejmujemy \((\star\star)\) od \((\star)\): \[5r - \tfrac{10}{3}r = 17 - 12\] \[\tfrac{15r - 10r}{3} = 5 \Rightarrow \tfrac{5r}{3} = 5 \Rightarrow r = 3.\] Z \((\star)\): \(a_1 = 17 - 15 = 2\). **Krok 4 - wyznaczenie \(k\):** \[a_3 = a_1 + 2r = 2 + 6 = 8\] \[a_k = a_1 + (k-1)r = 2 + 3(k-1) = 3k - 1.\] Warunek geometryczności: \(a_3^2 = a_1 \cdot a_k\): \[8^2 = 2(3k - 1)\] \[64 = 6k - 2\] \[6k = 66 \Rightarrow k = 11.\] ### Sposób 2 - Weryfikacja geometryczności Dla \(k = 11\): \(a_1 = 2, a_3 = 8, a_{11} = 2 + 30 = 32\). Sprawdzamy iloraz: \[\tfrac{a_3}{a_1} = \tfrac{8}{2} = 4; \quad \tfrac{a_{11}}{a_3} = \tfrac{32}{8} = 4.\] Iloraz stały \(q = 4\) - ciąg geometryczny ✓. **Odpowiedź:** \(k = 11\). ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/34) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F34) ## Podobne zadania - [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Ciąg (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu 𝑎6 = 15 oraz 𝑎15 = 𝑎3 ⋅(𝑎8 -6). Ciąg (𝑏𝑛), okr - [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-4) Trzywyrazowy ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci wyraz o 4, a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to - [Zadanie 6](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mmap-r0-100-a-2505/zad/6) — Zadanie 6. (0-4) Ciąg (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1 2 + 𝑎3 2 = 328. Oblicz sumę w _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_