# Matematyka — zadanie 4 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/4 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa) - rok: 2015 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Równania i nierówności, trygonometria ## Treść Zadanie 4. (0-1) Równość 5 5 5 5 5 m zachodzi dla A. 5 m = B. 4 m = C. 1 m = D. 5 m = - 3 x -5 5 x -3 5 x -3 -5 3 x MMA_1P BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) MMA_1P Kąt alfa jest ostry i sin alfa = 2/5. Wówczas cos alfa jest równy A. 5/2, B. pierwiastek z 21 / 4, C. 3/5, D. (pierwiastek z 21) / 5. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: B - \(m = 4\) ## Sposób 1 - Mnożenie krzyżowe (proporcja) Mamy równość: \[\frac{m}{5-\sqrt{5}} = \frac{5+\sqrt{5}}{5}\] **Mnożymy krzyżowo** (iloczyny "na krzyż" są sobie równe): \[5m = (5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})\] Prawa strona to **różnica kwadratów** - wzór \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\): \[(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5}) = 5^2 - (\sqrt{5})^2 = 25 - 5 = 20\] Mamy więc: \[5m = 20\] \[\boxed{m = 4}\] ## Sposób 2 - Wymnożenie licznika i mianownika (racjonalizacja) Zaczynamy od lewej strony - **rationalizujemy mianownik**, mnożąc przez sprzężenie \(\dfrac{5+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}\): \[\frac{m}{5-\sqrt{5}} \cdot \frac{5+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} = \frac{m(5+\sqrt{5})}{(5-\sqrt{5})(5+\sqrt{5})} = \frac{m(5+\sqrt{5})}{25 - 5} = \frac{m(5+\sqrt{5})}{20}\] Prawa strona to \(\dfrac{5+\sqrt{5}}{5}\). Przyrównujemy: \[\frac{m(5+\sqrt{5})}{20} = \frac{5+\sqrt{5}}{5}\] Dzielimy obie strony przez \((5+\sqrt{5})\) - wyrażenie to jest niezerowe, więc działanie jest dozwolone: \[\frac{m}{20} = \frac{1}{5}\] \[m = \frac{20}{5} = \boxed{4}\] ## Wzory z karty CKE **Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):** \[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\] Użyliśmy go w obu sposobach do obliczenia \((5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5}) = 25 - 5 = 20\). To klasyczne zastosowanie różnicy kwadratów przy wyrażeniach z pierwiastkami. **Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):** \[(\sqrt{a})^2 = a \quad \text{dla } a \geq 0\] Użyliśmy przy \((\sqrt{5})^2 = 5\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | **A** \(m = 5\) | Uczeń "odczytuje" \(m\) jako liczbę stojącą w liczniku prawej strony, czyli \(5+\sqrt{5} \approx 5\), i zaokrągla do \(5\) - ignoruje całe obliczenie | | **C** \(m = 1\) | Uczeń błędnie liczy \((5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5}) = 5\) (zapomina podnieść do kwadratu - liczy \(5-\sqrt{5}\) zamiast \((\sqrt{5})^2\)) i dostaje \(5m = 5\), więc \(m=1\) | | **D** \(m = -5\) | Błąd znaku: uczeń liczy \(25 - \sqrt{25} = 25 - 5\) ale z minusem na zewnątrz, lub myli sprzężenie z \((5 - \sqrt{5})^2\) | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** \((\sqrt{5})^2 = 5\), a NIE \(\sqrt{5}\). Bardzo częsty błąd to obliczenie \((5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5}) = 5^2 - \sqrt{5} = 25 - \sqrt{5}\) zamiast \(25 - 5 = 20\). > ⚠️ **Uwaga:** Różnica kwadratów działa tutaj wprost - \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) z \(a=5\), \(b=\sqrt{5}\). Nie musisz nic wymnażać "na piechotę". > ⚠️ **Uwaga:** W zadaniach z proporcją \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\) zawsze sprawdź, czy mianowniki są niezerowe - tutaj \(5 - \sqrt{5} \approx 5 - 2{,}24 \neq 0\), więc wszystko gra. **Poprawna odpowiedź: B** ### Sposób 1 - Wyznaczenie \(m\) przez mnożenie na krzyż Z równania: \[\tfrac{m}{5-\sqrt{5}} = \tfrac{5+\sqrt{5}}{5}\] \[5m = (5-\sqrt{5})(5+\sqrt{5}).\] Stosujemy wzór skróconego mnożenia \((a-b)(a+b) = a^2-b^2\): \[5m = 25 - 5 = 20\] \[m = 4.\] ### Sposób 2 - Usuwanie niewymierności z mianownika lewej strony Mnożymy licznik i mianownik lewej strony przez \(5+\sqrt{5}\): \[\tfrac{m}{5-\sqrt{5}}\cdot\tfrac{5+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} = \tfrac{m(5+\sqrt{5})}{25-5} = \tfrac{m(5+\sqrt{5})}{20}.\] Porównujemy z prawą stroną: \[\tfrac{m(5+\sqrt{5})}{20} = \tfrac{5+\sqrt{5}}{5}.\] Skracamy \((5+\sqrt{5})\) (różne od 0): \[\tfrac{m}{20} = \tfrac{1}{5} \Rightarrow m = 4.\] ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(m=5\)** - ktoś pomnożył licznik \(\cdot\) licznik, zapomniał o mianowniku. - **C. \(m=1\)** - ktoś zostawił ułamek \(\tfrac{1}{5}\) jako wynik. - **D. \(m=-5\)** - ktoś użył wzoru \((a-b)^2\) zamiast \((a-b)(a+b)\). **Poprawna odpowiedź: B** ### Sposób 1: Użycie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego Rozważmy ciąg arytmetyczny: 5 + 5R = zachodzi dla 5 - 5R. Oznacza to, że 5 + 5R = 5 - 5R. Przenosimy wyrazy z lewej strony na prawą: 5R + 5R = 5 - 5 10R = 0 R = 0 Zatem m = 4. 📖 Karta wzorów: s.9: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; strona 9 ### Sposób 2: Rozwiązanie równania algebraicznego Równość m 5 + 5 R = zachodzi dla 5 - 5 R można interpretować jako równość, gdzie m jest pewną liczbą, a 5 i R są elementami ciągu. Zauważmy, że 5 - 5R jest elementem tego samego ciągu, co 5 + 5R. Możemy to zapisać jako: m * (5) + 5R = 5 - 5R Przenosimy wyrazy z R na jedną stronę, a wyrazy stałe na drugą: m * 5 + 5R + 5R = 5 m * 5 + 10R = 5 Teraz możemy wyznaczyć R: 10R = 5 - m * 5 R = (5 - 5m) / 10 Ponieważ R jest elementem ciągu, to musi być liczbą. Zatem (5 - 5m) / 10 musi być liczbą. Aby to się stało, 5 - 5m musi być podzielne przez 10. Możemy to zapisać jako: 5 - 5m = 10k (gdzie k jest jakąś liczbą całkowitą) 5(1 - m) = 10k 1 - m = 2k m = 1 - 2k Aby znaleźć wartość m, możemy ustawić k = 0, wtedy m = 1. Sprawdźmy to: 5 + 5(0) = 5 5 - 5(0) = 5 Zatem równość zachodzi, gdy m = 1. Jednak, jeśli m=1, to R=0. Zatem: 5 + 5(0) = 5 5 - 5(0) = 5 Zatem m=1 jest rozwiązaniem. Jednak, jeśli m=4, to R=0. Zatem: 5 + 5(0) = 5 5 - 5(0) = 5 Zatem m=4 jest rozwiązaniem. 📖 Karta wzorów: s.7: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7 ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **A. \(m = 5\)**: Jeśli m = 5, to równanie staje się 5 * 5 + 5R = 5 - 5R, czyli 25 + 5R = 5 - 5R. Przenosząc wyrazy z R na jedną stronę, otrzymujemy 10R = -20, czyli R = -2. Wtedy ciąg to 5, 5*(-2) = -10, -10, -10, -10, itd. Równość 5 + 5R = 5 - 5R nie zachodzi, ponieważ 5 + 5*(-2) ≠ 5 - 5*(-2). * **C. \(m = 1\)**: Jeśli m = 1, to równanie staje się 1 * 5 + 5R = 5 - 5R, czyli 5 + 5R = 5 - 5R. Przenosząc wyrazy z R na jedną stronę, otrzymujemy 10R = 0, czyli R = 0. Wtedy ciąg to 5, 5*0 = 0, 0, 0, itd. Równość 5 + 5R = 5 - 5R zachodzi, ponieważ 5 + 5*0 = 5 i 5 - 5*0 = 5. * **D. \(m = -5\)**: Jeśli m = -5, to równanie staje się -5 * 5 + 5R = 5 - 5R, czyli -25 + 5R = 5 - 5R. Przenosząc wyrazy z R na jedną stronę, otrzymujemy 10R = 30, czyli R = 3. Wtedy ciąg to 5, 5*3 = 15, 15, 15, itd. Równość 5 + 5R = 5 - 5R nie zachodzi, ponieważ 5 + 5*3 ≠ 5 - 5*3. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** B _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/4) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F4) ## Podobne zadania - [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-2) Rozwiąż nierówność 𝟑𝒙𝟐+ 𝟒𝒙≥𝟔𝒙+ 𝟖 Zapisz obliczenia. 10. 0-1-2 MMAP-P0_100 Rozwiąż nierówność 3x² + 4x ≥ 6x+8 - [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż równanie (27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych. EMAP-P0_100 - [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż nierówność 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 EMAP-P0_100 _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_