# Matematyka — zadanie 5

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/5
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Układy równań, równania i nierówności

## Treść

\(\begin{cases} x - y = 3 \\ 2 x + 0,5 y = 4 \end{cases}\) Układ równań opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie

A. zbiór pusty.
B. dokładnie jeden punkt.
C. dokładnie dwa różne punkty.
D. zbiór nieskończony.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B

Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi opisuje **dokładnie jeden punkt** - punkt przecięcia dwóch prostych.

## Sposób 1 - Metoda podstawiania

Z pierwszego równania wyznaczamy \(x\):

\[x - y = 3 \implies x = y + 3\]

Podstawiamy do drugiego równania:

\[2(y + 3) + 0{,}5y = 4\]

\[2y + 6 + 0{,}5y = 4\]

\[2{,}5y = 4 - 6\]

\[2{,}5y = -2\]

\[y = \frac{-2}{2{,}5} = \frac{-2}{\frac{5}{2}} = -2 \cdot \frac{2}{5} = -\frac{4}{5}\]

Wracamy do wyrażenia na \(x\):

\[x = y + 3 = -\frac{4}{5} + 3 = -\frac{4}{5} + \frac{15}{5} = \frac{11}{5}\]

**Wynik:** Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(\left(\frac{11}{5},\ -\frac{4}{5}\right)\).

W układzie współrzędnych to **dokładnie jeden punkt**.

## Sposób 2 - Metoda eliminacji (dodawanie równań)

Mamy układ:
\[\begin{cases} x - y = 3 \\ 2x + 0{,}5y = 4 \end{cases}\]

Mnożymy pierwsze równanie przez \(0{,}5\), żeby mieć \(0{,}5y\) w obu:

\[0{,}5 \cdot (x - y) = 0{,}5 \cdot 3 \implies 0{,}5x - 0{,}5y = 1{,}5\]

Dodajemy do drugiego równania stronami:

\[(0{,}5x - 0{,}5y) + (2x + 0{,}5y) = 1{,}5 + 4\]

\[2{,}5x = 5{,}5\]

\[x = \frac{5{,}5}{2{,}5} = \frac{11}{5}\]

Podstawiamy do pierwszego równania:

\[\frac{11}{5} - y = 3 \implies y = \frac{11}{5} - \frac{15}{5} = -\frac{4}{5}\]

**Wynik zgodny:** \(\left(\frac{11}{5},\ -\frac{4}{5}\right)\) - jeden punkt. ✓

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność rozwiązywania układu równań liniowych metodą podstawiania lub eliminacji (podstawa algebry).

Warto jednak pamiętać o **geometrycznej interpretacji**:
- Każde równanie liniowe \(ax + by = c\) to **prosta** na płaszczyźnie.
- Dwie proste albo się przecinają (1 punkt), albo są równoległe (brak punktów), albo pokrywają się (nieskończenie wiele punktów).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń błędnie upraszcza układ i dochodzi do sprzeczności (np. \(0 = \text{liczba}\)), myląc proste równoległe z tym układem - tu proste się przecinają |
| C | Uczeń myli układ równań z równaniem jednej prostej lub z nierównością - **dwie różne proste** mogą dać co najwyżej **jeden** punkt wspólny, nie dwa |
| D | Uczeń myli układ z przypadkiem, gdy oba równania opisują **tę samą prostą** (np. drugie równanie byłoby wielokrotnością pierwszego) - tu prosta \(x - y = 3\) i prosta \(2x + 0{,}5y = 4\) mają różne kierunki |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy proste mają **różny współczynnik kierunkowy** - jeśli tak, muszą się przeciąć w dokładnie jednym punkcie. Tu \(y = x - 3\) (kierunkowy \(a = 1\)) vs \(y = -4x + 8\) (kierunkowy \(a = -4\)) - różne, więc wynik to zawsze **B**.

> ⚠️ **Uwaga:** \(0{,}5y\) to \(\frac{1}{2}y\) - przy eliminacji łatwo pomylić się mnożąc przez nieodpowiednią liczbę. Przelicz ułamki dziesiętne na zwykłe przed rachunkami.

> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o **punkt na płaszczyźnie**, nie o parę liczb. Rozwiązanie \(\left(\frac{11}{5}, -\frac{4}{5}\right)\) to **jeden punkt** - pilnuj, żeby nie liczyć go jako "dwie wartości = dwa punkty".

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Porównanie współczynników kierunkowych
Zapisujemy oba równania w postaci \(y = ax+b\):
- \(x - y = 3 \Rightarrow y = x - 3\) (współczynnik kierunkowy \(a_1 = 1\))
- \(2x + 0{,}5y = 4 \Rightarrow 0{,}5y = -2x + 4 \Rightarrow y = -4x + 8\) (współczynnik \(a_2 = -4\))

\(a_1 \ne a_2\), więc proste przecinają się w **dokładnie jednym punkcie**.

### Sposób 2 - Rozwiązanie układu
Z pierwszego równania: \(y = x-3\). Podstawiamy do drugiego:
\[2x + 0{,}5(x-3) = 4\]
\[2{,}5x - 1{,}5 = 4\]
\[2{,}5x = 5{,}5 \Rightarrow x = 2{,}2, \quad y = -0{,}8.\]
Punkt: \((2{,}2; -0{,}8)\) - **dokładnie jeden**.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. zbiór pusty** - proste równoległe, ale różne (mają różne \(a\), więc się przecinają).
- **C. dwa punkty** - dwie proste nie mogą się przecinać w dwóch punktach (chyba że to ta sama prosta, wtedy nieskończenie wielu).
- **D. zbiór nieskończony** - tylko gdyby równania były proporcjonalne; tu nie są.

**Trik:** dla układu dwóch równań liniowych wystarczy porównać \(\tfrac{a_1}{a_2}, \tfrac{b_1}{b_2}, \tfrac{c_1}{c_2}\). Wszystkie równe → ta sama prosta. Tylko dwa równe → równoległe. Nic nie równe → jeden punkt.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1: Metoda eliminacji

1. **Rozwiązujemy pierwsze równanie** względem *y*:
\[x - y = 3 \implies y = x - 3\]
2. **Podstawiamy** wyrażenie na *y* do drugiego równania:
\[2x + 0.5y = 4 \implies 2x + 0.5(x - 3) = 4\]
3. **Rozwiązujemy** równanie z jedną niewiadomą (*x*):
\[2x + 0.5x - 1.5 = 4 \implies 2.5x = 5.5 \implies x = \frac{5.5}{2.5} = \frac{55}{25} = \frac{11}{5} = 2.2\]
4. **Obliczamy** *y* z pierwszego równania:
\[y = x - 3 = 2.2 - 3 = -0.8\]
5. **Sprawdzamy** rozwiązanie w drugim równaniu:
\[2(2.2) + 0.5(-0.8) = 4.4 - 0.4 = 4\]
Rozwiązanie jest poprawne.

📖 Karta wzorów: s.4, strona 4 (Wartość bezwzględna) - Nie użyto bezpośrednio, ale metoda rozwiązywania układu równań jest podstawą.

### Sposób 2: Metoda mnożenia przez współczynniki

1. **Mnożymy** drugie równanie przez 2:
\[2(2x + 0.5y) = 2(4) \implies 4x + y = 8\]
2. **Dodajemy** to równanie do pierwszego równania:
\[(x - y) + (4x + y) = 3 + 8 \implies 5x = 11 \implies x = \frac{11}{5} = 2.2\]
3. **Podstawiamy** *x* do pierwszego równania:
\[2.2 - y = 3 \implies y = 2.2 - 3 = -0.8\]
4. **Sprawdzamy** rozwiązanie w drugim równaniu:
\[2(2.2) + 0.5(-0.8) = 4.4 - 0.4 = 4\]
Rozwiązanie jest poprawne.

📖 Karta wzorów: s.4, strona 4 (Wartość bezwzględna) - Nie użyto bezpośrednio, ale metoda rozwiązywania układu równań jest podstawą.

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. zbiór pusty:** Rozwiązaliśmy układ równań i otrzymaliśmy konkretne wartości *x* i *y*, więc nie może być to zbiór pusty.
* **C. dokładnie dwa różne punkty:** Rozwiązaliśmy układ równań i otrzymaliśmy jedno rozwiązanie, a nie dwa różne.
* **D. zbiór nieskończony:** Układ równań ma jedno rozwiązanie, a nie nieskończenie wiele.

**Dodatkowe wyjaśnienie:** Układ równań, który ma jedno rozwiązanie, oznacza, że przecinają się w jednym punkcie. Metodą rozwiązywania układów równań jest tutaj podstawianie lub eliminacja. W tym przypadku, eliminacja była najprostsza.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/5)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F5)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/17) — Zadanie 17. (0-2) Pan Jan wybrał z bankomatu 2900 zł. Na tę kwotę składały się łącznie 22 banknoty 200-złotowe i 100-złotowe. Ile banknotów 100-złotowych pan Ja
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/7) — Zadanie 7. (0-1) Układ równań { 𝑥-2𝑦= 3 -4𝑥+ 8𝑦= -12 A. nie ma rozwiązań. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie. C. ma dokładnie dwa rozwiązania. D. ma nieskończeni
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (0-1) Rozwiązaniem układu równań {11𝑥-11𝑦= 1 22𝑥+ 22𝑦= -1 jest para liczb: 𝑥= 𝑥0 , 𝑦= 𝑦0 . Wtedy A. 𝑥0 > 0 i 𝑦0 > 0 B. 𝑥0 > 0 i 𝑦0 < 0 C. 𝑥0 < 0 i 𝑦0
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/5) — Para liczb \(x = 3\) i \(y = 1\) jest rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} -x + 12y = a^{2} \\ 2x + ay = 9 \end{cases}\) dla A. \(a = \dfrac{7}{3}\) B. \(

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_