# Matematyka — zadanie 6

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/6
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Zadanie 6. (0-1)
Suma wszystkich pierwiastków równania (
)(
)(
)
3
7
11
0
x
x
x
jest równa
A.
1
B.
21
C.
1
D.
21
Rozwiązaniem równania 2x-4 / 3-x = 4/3 jest liczba A. x=0, B. x=12/5, C. x=2, D. x=12/11

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C - \(1\)

## Sposób 1 - odczyt pierwiastków wprost z postaci iloczynowej

Równanie \((x+3)(x+7)(x-11) = 0\) jest już w **postaci iloczynowej** - iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden czynnik jest równy zero.

Rozwiązujemy każdy czynnik osobno:

\[x + 3 = 0 \implies x_1 = -3\]
\[x + 7 = 0 \implies x_2 = -7\]
\[x - 11 = 0 \implies x_3 = 11\]

Suma pierwiastków:

\[x_1 + x_2 + x_3 = -3 + (-7) + 11 = -10 + 11 = \mathbf{1}\]

**Odpowiedź: C** - suma pierwiastków wynosi \(1\).

## Sposób 2 - wzory Viète'a dla wielomianu stopnia 3

Rozwijamy iloczyn, ale nie w pełni - interesuje nas tylko współczynnik przy \(x^2\) (bo ze wzorów Viète'a suma pierwiastków = \(-\frac{a_2}{a_3}\)).

Mnożymy pierwsze dwa nawiasy:

\[(x+3)(x+7) = x^2 + 10x + 21\]

Teraz mnożymy przez \((x-11)\), ale wystarczy nam wyraz przy \(x^2\):

\[(x^2 + 10x + 21)(x - 11)\]

Wyrazy dające \(x^2\):
\[x^2 \cdot (-11) + 10x \cdot x = -11x^2 + 10x^2 = -x^2\]

Wyraz przy \(x^3\): oczywiście \(x^2 \cdot x = x^3\), więc wiodący współczynnik \(= 1\).

Równanie w postaci ogólnej wygląda tak:
\[x^3 - x^2 + \ldots = 0\]

Z uogólnionych wzorów Viète'a dla wielomianu \(x^3 + px^2 + qx + r\):
\[x_1 + x_2 + x_3 = -p\]

Tutaj \(p = -1\), więc:
\[x_1 + x_2 + x_3 = -(-1) = \mathbf{1}\]

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy własność iloczynu (równanie iloczynowe) i podstawowe działania arytmetyczne. Wzory Viète'a w Sposobie 2 są opcjonalnym narzędziem, nieujętym wprost w karcie dla stopnia 3.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A. \(-1\) | Uczeń bierze liczby z nawiasów BEZ zmiany znaku: \(3 + 7 + (-11) = -1\). Zapomina, że \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\), nie \(x = 3\)! |
| B. \(21\) | Uczeń mnoży pierwiastki zamiast je dodawać: \((-3) \cdot (-7) = 21\). Mylenie sumy z iloczynem. |
| D. \(-21\) | Uczeń liczy \((-3) + (-7) + (-11) = -21\), biorąc wszystkie trzy liczby z nawiasów ze znakiem minus (zły odczyt pierwiastka z \(x - 11\)). |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Pierwiastek z \((x + a) = 0\) to \(x = -a\), nie \(x = a\)! To najczęstszy błąd - pochopne przepisanie liczby z nawiasu bez zmiany znaku.

> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o **sumę** pierwiastków, nie o ich iloczyn ani o liczbę pierwiastków. Przeczytaj uważnie, co jest pytane!

> ⚠️ **Uwaga:** Równanie iloczynowe \(ABC = 0\) ma rozwiązania \(A = 0\) **lub** \(B = 0\) **lub** \(C = 0\) - wszystkie trzy to pierwiastki, żaden nie „odpada".

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Odczytanie pierwiastków z postaci iloczynowej
Równanie postaci iloczynowej jest spełnione, gdy co najmniej jeden czynnik równa się zero:
- \(x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3\)
- \(x + 7 = 0 \Rightarrow x_2 = -7\)
- \(x - 11 = 0 \Rightarrow x_3 = 11\)

Suma pierwiastków:
\[x_1 + x_2 + x_3 = -3 + (-7) + 11 = 1.\]

### Sposób 2 - Wzory Viète'a dla sześcianu
Równanie \((x+3)(x+7)(x-11) = 0\) po rozwinięciu daje \(x^3 + bx^2 + cx + d\), gdzie \(b = -(x_1+x_2+x_3) \cdot (-1) = -(-3-7+11) = -1\). Więc suma pierwiastków = \(-b/a = -(-1) = 1\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(-1\)** - ktoś pomylił znak przy \((x-11)\), wziął \(-11\) zamiast \(+11\).
- **B. \(21\)** - ktoś policzył **iloczyn** bezwzględnych wartości: \(3\cdot 7\cdot 11 / \text{coś}\), lub wynik innego błędu.
- **D. \(-21\)** - podobnie, związane z iloczynem pierwiastków lub błędem znaku.

**Pamiętaj:** w nawiasie \((x+a)\) pierwiastek to \(x = -a\); w nawiasie \((x-a)\) pierwiastek to \(x = a\).

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1: Rozwiązanie równania

1. **Rozważmy równanie:** (x + 3)(x + 7)(x - 11) = 0

2. **Zgodnie z własnościami iloczynu, pierwiastki równania to takie wartości x, dla których każdy z czynników jest równy zero.** Zatem:
* x + 3 = 0 => x = -3
* x + 7 = 0 => x = -7
* x - 11 = 0 => x = 11

3. **Suma pierwiastków równania:** -3 + (-7) + 11 = -10 + 11 = 1

📖 Karta wzorów: Sumy pierwiastków, s.7, Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b)

### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru Viète'a

1. **Rozwiń iloczyn:**
(x + 3)(x + 7) = x² + 10x + 21

2. **Pomnóż przez (x - 11):**
(x² + 10x + 21)(x - 11) = x³ + 10x² + 21x - 11x² - 110x - 231 = x³ - x² - 89x - 231

3. **Zapisz równanie:** x³ - x² - 89x - 231 = 0

4. **Zastosuj wzór Viète'a dla równania trzeciego stopnia:** Dla równania ax³ + bx² + cx + d = 0, suma pierwiastków równania to -b/a. W naszym przypadku a = 1, b = -1, c = -89, d = -231.

Zatem suma pierwiastków = -(-1)/1 = 1

📖 Karta wzorów: Sumy pierwiastków, s.7, Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b)

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. -1:** Jest to suma pierwiastków, ale obliczona w sposób niepoprawny.
* **B. 21:** Jest to liczba całkowita, ale nie jest to suma pierwiastków równania.
* **D. -21:** Podobnie jak B, jest to liczba całkowita, która nie odpowiada sumie pierwiastków.

**Krótkie wyjaśnienie błędnych odpowiedzi:** Błędne odpowiedzi wynikają z nieprawidłowego rozumowania lub zastosowania nieodpowiednich wzorów. W tym przypadku kluczowe jest zrozumienie, że pierwiastki równania to takie wartości x, dla których równanie jest równe zero, a suma tych pierwiastków jest obliczana bezpośrednio z podanych czynników.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/6)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F6)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 1 1 1 x   ≤     Odpowiedź: Poziom rozszerzony MMA_1R
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 5 10 2 x x x ≤ Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczb
- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/22) — Zadanie 22. (0-4) W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień wypożyczenia.
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-4) Janek, który chodzi ze średnią prędkością 4 , h km a biega ze średnią prędkością 6 , h km zauważył, że biegnąc na popołudniowy trening koszykó

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_