# Matematyka — zadanie 8

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/8
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Funkcje

## Treść

Na rysunku przedstawiono wykresu funkcji f.

/matma-quiz/images/cke/MMA-P1_1P-152/z8.png

przedstawiono wykres funkcji f . y 3 2 1 -4 -3 -2 -1 x 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 Zbiorem wartości funkcji f jest >

A. \((-2, 2)\)
B. \(\langle-2, 2)\)
C. \(\langle-2, 2\rangle\)
D. \((-2, 2\rangle\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D - \((-2, 2\rangle\)

Zbiór wartości funkcji \(f\) to przedział \((-2, 2\rangle\), czyli wartości większe od \(-2\) (nie włącznie) i mniejsze lub równe \(2\) (włącznie).

## Sposób 1 - Odczyt z wykresu: analiza osi Y

**Zbiór wartości** to zbiór wszystkich liczb \(y\), które funkcja \(f\) przyjmuje - czyli patrzymy na oś \(OY\) i pytamy: „jakie wartości \(y\) osiąga wykres?"

**Krok 1: Szukamy maksimum.**

Patrząc na wykres, najwyższy punkt wykresu ma rzędną \(y = 2\). Punkt ten leży **na wykresie** (zaznaczony jako punkt wypełniony/domknięty). Zatem \(y = 2\) **jest osiągane**.

**Krok 2: Szukamy minimum.**

Najniższy punkt wykresu zbliża się do \(y = -2\), ale ten punkt **nie należy do wykresu** (zaznaczony jako okrąg pusty/otwarty). Zatem \(y = -2\) **nie jest osiągane**.

**Krok 3: Ciągłość.**

Wykres jest ciągły - funkcja przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy \(-2\) a \(2\).

**Wniosek:**

\[\text{Zbiór wartości} = (-2,\ 2\rangle\]

co czytamy: „od minus dwa (nie włącznie) do dwa (włącznie)".

## Sposób 2 - Weryfikacja przez analiza nawiasów

Cztery odpowiedzi różnią się wyłącznie rodzajem nawiasów. Przypomnijmy konwencję:

| Nawias | Znaczenie | Czy końciec jest osiągany? |
| \((\) lub \()\) | otwarty | **NIE** |
| \(\langle\) lub \(\rangle\) | domknięty | **TAK** |

Sprawdzamy oba krańce przedziału:

- **Kres dolny \(-2\):** punkt pusty (okrąg otwarty) na wykresie → wartość \(-2\) **nie jest osiągana** → nawias **okrągły od lewej**: \((\)
- **Kres górny \(2\):** punkt pełny (wypełniony) na wykresie → wartość \(2\) **jest osiągana** → nawias **ostry od prawej**: \(\rangle\)

Zatem jedyną poprawną odpowiedzią jest **D**: \((-2, 2\rangle\).

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja zbioru wartości funkcji i umiejętność odczytu wykresu. Żadne wzory algebraiczne nie są potrzebne.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Przedział | Błąd |
| A | \((-2, 2)\) | Oba nawiasy otwarte - uczeń uznał, że **ani \(-2\), ani \(2\)** nie są osiągane, ignorując pełny punkt przy \(y=2\) |
| B | \(\langle-2, 2)\) | Oba błędy naraz - nawias zamknięty przy \(-2\) (choć punkt pusty) i otwarty przy \(2\) (choć punkt pełny); zamiana nawiasów |
| C | \(\langle-2, 2\rangle\) | Oba nawiasy domknięte - uczeń uznał, że **oba krańce** są osiągane, nie zauważając pustego punktu przy \(y=-2\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór wartości to rzędne (oś \(OY\)), **nie** dziedzina (oś \(OX\)). Bardzo częsty błąd to odczytanie „zakresu \(x\)" zamiast „zakresu \(y\)".

> ⚠️ **Uwaga:** Pusty okrąg na wykresie = punkt **nie należy** do wykresu → granica **otwarta**. Pełny okrąg = punkt **należy** → granica **domknięta**. Sprawdź oba krańce niezależnie - mogą być różne (jak tu właśnie jest)!

> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedzi B i D wyglądają podobnie - różnica to **która** strona jest domknięta. Czytaj uważnie: \(\langle-2, 2)\) to domknięte od lewej, \((-2, 2\rangle\) to domknięte od prawej.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Odczyt z wykresu
Patrzymy na wszystkie wartości \(y\), jakie przyjmuje funkcja:
- W punkcie \((1, 2)\) pełne (zamalowane) kółko - wartość \(y = 2\) **jest** osiągana.
- W punkcie \((2, -2)\) puste kółko - wartość \(y = -2\) **NIE jest** osiągana w tym miejscu.
- Odcinek opada od \((1,2)\) do okolic \(y = -2\), ale kończy się otwarcie na \(-2\).
- Stała gałąź na poziomie \(y = -1\) - osiągane.

Zbiór wartości: \(-2\) **wyłączone**, \(2\) **włączone** → \((-2, 2\rangle\).

### Sposób 2 - Analiza nawiasów
W zapisie przedziałów:
- \(( )\) = nawias otwarty (koniec NIE należy)
- \(\langle \rangle\) = nawias zamknięty (koniec należy)

Dla tego wykresu: min wyłączony (\(-2\)), max włączony (\(2\)), więc poprawny zapis: \((-2, 2\rangle\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \((-2, 2)\)** - oba końce wyłączone; tutaj \(y = 2\) jest osiągane w \(x = 1\).
- **B. \(\langle-2, 2)\)** - odwrócone warunki: \(-2\) włączone, \(2\) wyłączone. Przeciwnie do wykresu.
- **C. \(\langle-2, 2\rangle\)** - oba końce włączone; \(y = -2\) nie jest osiągane (puste kółko).

**Zasada:** zamalowane kółko = koniec włączony (\(\langle\) lub \(\rangle\)); puste = wyłączony (\((\) lub \())\)).

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1: Analiza wykresu i określenie zbioru wartości

1. **Zrozumienie zbioru wartości:** Zbiór wartości funkcji f to zbiór wszystkich możliwych wartości y, które funkcja przyjmuje dla wszystkich wartości x. Wykres funkcji f pokazuje, jakie wartości y odpowiadają różnym wartościom x.
2. **Analiza wykresu:** Z wykresu widzimy, że funkcja f przyjmuje wartości y od -3 do 2. Funkcja ma dwa oddzielne odcinki: od -3 do -1 i od 1 do 2.
3. **Określenie zbioru wartości:** Zatem zbiór wartości funkcji f to [-3, 2].

📖 Karta wzorów: s.4 - Zbiorem wartości funkcji f jest [-3, 2]

### Sposób 2: Wykorzystanie osi i zakresu wartości

1. **Oś Y:** Oś Y reprezentuje wartości funkcji f. Najniższą wartość, jaką funkcja przyjmuje, to -3, a najwyższą to 2.
2. **Zakres wartości:** Zatem zbiór wartości funkcji f to przedział od -3 do 2, czyli [-3, 2].

[ ]

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. \((-2, 2)\):** To jest tylko pojedyncza para współrzędnych, a zbiór wartości to *przedział* wartości.
* **B. -2, 2):** To jest zapis przedziału, ale nie jest to poprawny zapis przedziału.
* **C. -2, 2:** To również jest zapis przedziału, ale nie jest to poprawny zapis przedziału.

W tym zadaniu, kluczowe jest zrozumienie, że zbiór wartości funkcji to *przedział* wartości, które funkcja może przyjmować. Wykres funkcji f pokazuje, że funkcja przyjmuje wartości od -3 do 2, co odpowiada przedziałowi [-3, 2].

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/8)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F8)

## Podobne zadania

- [Zadanie 11.3](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/11.3) — Zadanie 11.3. (0-2) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział 
- [Zadanie 12.2](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/12.2) — Zadanie 12.2. (0-2) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest prz
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/29) — Zadanie 29. (0-2) Dana jest funkcja 𝑦= 𝑓(𝑥), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) na rysunku obok. Funkcje 𝑔 oraz ℎ są okre
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/20) — Zadanie 20. (0-2) Dana jest funkcja 𝑦= 𝑓(𝑥), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) na rysunku obok. Ta funkcja jest określon

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_