# Matematyka — zadanie 9

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/9
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Funkcje, funkcja liniowa

## Treść

Zadanie 9. (0-1)
Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem
( )
(
)1
3
f x
m
x
+ leży punkt
(
)
5,
2
S
Zatem
A.
1
m = -
B.
0
m =
C.
1
m =
D.
2
m =
x
y
-3
-2 -1
5
0
-1
1
2
3
1
2
3
4
-4
-2
-3

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Punkt M = (1/2,3) należy do wykresu funkcji liniowej określonej wzorem f(x)=(3-2a)x+2. Wtedy A. a=-1/2, B. a=2, C. a=1/2, D. a=-2.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B (\(m = 0\))

## Sposób 1 - podstawienie punktu do wzoru funkcji

Skoro punkt \(S = (5, -2)\) leży na wykresie funkcji \(f(x) = (m-1)x + 3\), to musi spełniać równanie tej funkcji - czyli po podstawieniu \(x = 5\) musimy dostać \(f(5) = -2\).

**Podstawiamy \(x = 5\), \(f(x) = -2\):**

\[(m-1) \cdot 5 + 3 = -2\]

\[5m - 5 + 3 = -2\]

\[5m - 2 = -2\]

\[5m = 0\]

\[\boxed{m = 0}\]

## Sposób 2 - weryfikacja wyniku

Sprawdzamy, czy dla \(m = 0\) punkt \(S = (5, -2)\) rzeczywiście leży na wykresie.

Wzór funkcji przy \(m = 0\):
\[f(x) = (0 - 1)x + 3 = -x + 3\]

Obliczamy wartość w \(x = 5\):
\[f(5) = -5 + 3 = -2\]

**Wynik \(-2\) zgadza się z \(y\)-współrzędną punktu \(S\).** Odpowiedź B jest poprawna.

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i podstawowe działania algebraiczne.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A. \(m = -1\) | Błąd rachunkowy - np. zgubienie \(-1\) w nawiasie: \(m \cdot 5 + 3 = -2 \Rightarrow 5m = -5 \Rightarrow m = -1\) (zapomniano odjąć \(1 \cdot 5\) z \((m-1)\cdot 5\)) |
| C. \(m = 1\) | Podstawiono \(x = 5\), ale zignorowało się wyraz wolny \(+3\), lub pomylono znak: \((m-1) \cdot 5 = -2 \Rightarrow m - 1 = 0 \Rightarrow m = 1\) |
| D. \(m = 2\) | Błąd przy przenoszeniu przez znak - np. \(5m - 2 = -2 \Rightarrow 5m = -2 + 2 = 0\) policzono dobrze, ale gdzieś wcześniej pojawił się błąd znaku dający \(5m = 10\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \((m-1)x\) to \(m \cdot x - 1 \cdot x\), a nie samo \(m \cdot x\). Najczęstszy błąd to pominięcie \(-1 \cdot 5 = -5\) przy rozwijaniu nawiasu.

> ⚠️ **Uwaga:** Punkt leży na wykresie funkcji oznacza dokładnie jedno: \(f(x_0) = y_0\). Nie obliczamy nic innego - po prostu podstawiamy obie współrzędne.

> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź zawsze, czy wynik \(m = 0\) nie czyni funkcji stałą - tutaj \(f(x) = -x + 3\) jest liniową, co jest w porządku (warunek \(m-1 \neq 0\) nie jest wymagany przez treść, ale warto być świadomym).

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Podstawienie współrzędnych punktu
Jeśli \(S = (5, -2)\) leży na wykresie, to \(f(5) = -2\):
\[(m-1)\cdot 5 + 3 = -2\]
\[5(m-1) = -5\]
\[m - 1 = -1 \Rightarrow m = 0.\]

### Sposób 2 - Sprawdzenie wariantów
Dla każdego \(m\) sprawdzamy, czy \(f(5) = -2\):
- \(m = -1\): \(f(5) = -2\cdot 5 + 3 = -7 \ne -2\).
- \(m = 0\): \(f(5) = -1\cdot 5 + 3 = -2\) ✓.
- \(m = 1\): \(f(5) = 0\cdot 5 + 3 = 3\).
- \(m = 2\): \(f(5) = 1\cdot 5 + 3 = 8\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(m=-1\)** - ktoś pomylił znak przy przenoszeniu wyrazów.
- **C. \(m=1\)** - wynik błędnej interpretacji: wtedy \(f(x)=3\) (funkcja stała), \(f(5)=3\), a nie \(-2\).
- **D. \(m=2\)** - wynik mylnej oceny znaku przy \(3\).

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1: Użycie wzoru na współrzędną punktu na prostej

1. **Zrozumienie problemu:** Mamy daną prostą \(f(x) = (m - 1)x + 3\) i punkt S = (5, -2), który leży na tej prostej. Musimy znaleźć wartość parametru *m*, dla której to się spełnia.

2. **Wzór na współrzędną punktu na prostej:** Punkt (x₁, y₁) leży na prostej o równaniu \(y = ax + b\) jeśli spełnia równanie \(y₁ = ax₁ + b\). W naszym przypadku, punkt S(5, -2) leży na prostej \(f(x) = (m - 1)x + 3\), więc:
\[-2 = (m - 1) * 5 + 3\]

3. **Rozwiązanie równania:**
\[-2 = 5m - 5 + 3\]
\[-2 = 5m - 2\]
\[5m = 0\]
\[m = 0\]

📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4

### Sposób 2: Użycie wzoru na równanie prostej i sprawdzenie

1. **Wzór na równanie prostej:** Równanie prostej przechodzącej przez punkty (x₁, y₁) i (x₂, y₂) ma postać:
\[\frac{y - y₁}{x - x₁} = \frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}\]

2. **Zastosowanie wzoru:** Wiemy, że prosta przechodzi przez (5, -2) i (x, y) (gdzie x i y są nieznane, ale są rozwiązaniem funkcji f(x) = (m-1)x + 3). Ponieważ (5, -2) leży na prostej, możemy użyć tego punktu i innego punktu, który spełnia równanie funkcji. Ponieważ zadanie sugeruje, że szukamy *m*, możemy wykorzystać fakt, że f(x) = (m-1)x + 3. Zatem, x = 5 i f(5) = -2.

\[f(5) = (m - 1) * 5 + 3 = -2\]
\[5m - 5 + 3 = -2\]
\[5m - 2 = -2\]
\[5m = 0\]
\[m = 0\]

📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. \(m = -1\):** Podstawiając \(m = -1\) do wzoru funkcji, otrzymujemy \(f(x) = (-1 - 1)x + 3 = -2x + 3\). Sprawdzając, czy punkt (5, -2) leży na tej prostej, otrzymujemy -2 * 5 + 3 = -7, co nie jest równe -2.
* **C. \(m = 1\):** Podstawiając \(m = 1\) do wzoru funkcji, otrzymujemy \(f(x) = (1 - 1)x + 3 = 3\). Sprawdzając, czy punkt (5, -2) leży na tej prostej, otrzymujemy 3, co nie jest równe -2.
* **D. \(m = 2\):** Podstawiając \(m = 2\) do wzoru funkcji, otrzymujemy \(f(x) = (2 - 1)x + 3 = x + 3\). Sprawdzając, czy punkt (5, -2) leży na tej prostej, otrzymujemy 5 + 3 = 8, co nie jest równe -2.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152/zad/9)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-152%2Fzad%2F9)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (4 pkt) Równanie postaci 9 160 9 5 ⋅ F C ( ) C , ustala zależność między temperaturą, wyrażoną w stopniach Celsjusza oraz Fahrenheita ( ) F a) Oblicz
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej iloczyn tej liczby przez liczbę o 3 od niej mniejszą. a. Podaj wzór funkcji f b. Zbada
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Jeżeli x 1= 2, x 2 = 3 i x 3= -1 są miejscami zerowymi wielomianu d cx bx ax x W 2 3 ) ( , gdzie 0 ≠ a oraz 2 ) 4 ( W , to współczynnik a moż
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (0-2) W chwili początkowej (𝑡= 0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa 80 °C. Temperatura w pokoju (tempe

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_