# Matematyka — zadanie 1

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/1
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Liczby rzeczywiste, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 1. (0-1)
Liczba
6
7
6
7
6
42
⋅
jest równa
A.
36
42
B.
7
42
C. 6
D. 1
Liczba 7^6 ⋅ 6^7 / 42^6 jest równa A. 42^36, B. 42^7, C. 6, D. 1

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C - \(6\)

## Sposób 1 - Rozbicie \(42^6\) na czynniki pierwsze

Zauważamy, że \(42 = 6 \cdot 7\), więc \(42^6 = 6^6 \cdot 7^6\).

Podstawiamy do wyrażenia:

\[\frac{7^6 \cdot 6^7}{42^6} = \frac{7^6 \cdot 6^7}{6^6 \cdot 7^6}\]

Skracamy \(7^6\) z \(7^6\) oraz \(6^6\) z \(6^7\):

\[= \frac{\cancel{7^6} \cdot 6^7}{\cancel{7^6} \cdot 6^6} = \frac{6^7}{6^6} = 6^{7-6} = 6^1 = \mathbf{6}\]

## Sposób 2 - Rozpisanie przez własności potęg

Rozbijamy ułamek na dwa osobne:

\[\frac{7^6 \cdot 6^7}{42^6} = \frac{7^6}{42^6} \cdot 6^7 = \left(\frac{7}{42}\right)^6 \cdot 6^7\]

Upraszczamy ułamek \(\dfrac{7}{42} = \dfrac{7}{6 \cdot 7} = \dfrac{1}{6}\):

\[= \left(\frac{1}{6}\right)^6 \cdot 6^7 = \frac{1}{6^6} \cdot 6^7 = 6^{7-6} = 6^1 = \mathbf{6}\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:

\[\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\]

Użyliśmy tego do uproszczenia \(\dfrac{6^7}{6^6} = 6^{7-6} = 6\).

\[(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r\]

Użyliśmy tego do rozbicia \(42^6 = (6 \cdot 7)^6 = 6^6 \cdot 7^6\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Mnożenie wykładników zamiast upraszczania - ktoś "dodaje" wszystkie potęgi: \(6 + 7 + 6 = \ldots\), ale wynik to nie potęga 42 |
| B | Próba "wyliczenia" wyniku jako \(42^7\) - brak jakiegokolwiek uproszczenia, zgadywanie struktury |
| D | Mylne przekonanie, że \(7^6\) i \(6^7\) skracają się "symetrycznie" do 1 (np. ktoś myśli: "te same wykładniki, więc się skracają") |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** \(42^6 \neq 7^6 \cdot 6^6\) dopóki nie rozbijemy \(42 = 6 \cdot 7\). Zacznij zawsze od faktoryzacji podstawy.

> ⚠️ **Uwaga:** \(6^7 \div 6^6 = 6^1 = 6\), **nie** \(1\)! Odejmujemy wykładniki, a nie dzielimy - to częsty błąd przy pochopnym upraszczaniu.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj liczyć \(7^6\) ani \(6^7\) z ręki - to ogromne liczby. Zawsze szukaj możliwości skrócenia przez rozbicie na czynniki pierwsze.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Rozłożenie 42 na czynniki
Zauważamy, że \(42 = 7\cdot 6\), więc \(42^{6} = 7^{6}\cdot 6^{6}\). Podstawiamy:
\[\dfrac{7^{6}\cdot 6^{7}}{42^{6}} = \dfrac{7^{6}\cdot 6^{7}}{7^{6}\cdot 6^{6}} = \dfrac{6^{7}}{6^{6}} = 6^{7-6} = 6.\]

### Sposób 2 - Grupowanie potęg
\[\dfrac{7^{6}\cdot 6^{7}}{42^{6}} = \dfrac{7^{6}\cdot 6^{6}\cdot 6}{42^{6}} = \dfrac{(7\cdot 6)^{6}\cdot 6}{42^{6}} = \dfrac{42^{6}\cdot 6}{42^{6}} = 6.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(42^{36}\)** - ktoś pomylił dodawanie/mnożenie wykładników.
- **B. \(42^{7}\)** - wynik przez błędne dzielenie.
- **D. \(1\)** - gdyby licznik był równy mianownikowi, co nie jest prawdą (różnią się o \(6\)).

**Trik:** szukaj wspólnych czynników, zwłaszcza gdy liczba w mianowniku to iloczyn.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/1)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F1)

## Podobne zadania

- [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/21) — Zadanie 21. (0-3) Pani Maria w 2015 roku łącznie zarobiła 43 740 zł. W każdym miesiącu od stycznia do września włącznie otrzymywała pensję tej samej wysokości. 
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (3 pkt) Niech 4 log7 a Wyznacz 49 log 2 w zależności od a. Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 3
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b określamy liczby aDb i a∗b w następujący sposób: aDb = liczba nie mniejsza spośród liczb a i b, a∗b =
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/2) — Zadanie 2. (0-2) Pensja pana X jest o 50% wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o 40% niższa od średniej krajowej. Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_