# Matematyka — zadanie 10

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/10
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Funkcje, funkcja kwadratowa

## Treść

Zadanie 10. (0-1)
Dana jest funkcja kwadratowa
( )
(
)(
)
2
5
11
f x
x
x
. Wskaż maksymalny przedział,
w którym funkcja f jest rosnąca.
A. (
,3
-∞
B. (
,5
-∞
C. (
,11
-∞
D.
)
6,+∞
Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = -2(x+5)(x-11). Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca. A. (-∞,3>; B. (-∞,5>; C. (-∞,11>, D. <6,+∞).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \((-\infty, 3\rangle\)

## Sposób 1 - Wyznaczenie wierzchołka i przedziału wzrostu

Funkcja kwadratowa z ujemnym współczynnikiem przy \(x^2\) ma parabolę skierowaną **ramionami w dół** - rośnie do wierzchołka, a potem maleje.

**Krok 1: Znajdź miejsca zerowe.**

Funkcja jest w postaci iloczynowej: \(f(x) = -2(x+5)(x-11)\)

Miejsca zerowe to:
\[x_1 = -5, \quad x_2 = 11\]

**Krok 2: Wyznacz wierzchołek (oś symetrii).**

Oś symetrii paraboli leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi:
\[p = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-5 + 11}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

Wierzchołek ma odciętą \(p = 3\).

**Krok 3: Określ przedział wzrostu.**

Parabola skierowana ramionami w dół:
- **rośnie** dla \(x \in (-\infty, 3\rangle\)
- **maleje** dla \(x \in \langle 3, +\infty)\)

**Odpowiedź: \((-\infty, 3\rangle\)**

## Sposób 2 - Rozwinięcie do postaci kanonicznej

**Krok 1: Rozwiń postać iloczynową.**
\[f(x) = -2(x+5)(x-11) = -2(x^2 - 11x + 5x - 55) = -2(x^2 - 6x - 55)\]
\[f(x) = -2x^2 + 12x + 110\]

Mamy: \(a = -2\), \(b = 12\), \(c = 110\).

**Krok 2: Wyznacz wierzchołek ze wzoru.**
\[p = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot (-2)} = -\frac{12}{-4} = 3\]

**Krok 3: Przedział wzrostu.**

Ponieważ \(a = -2 < 0\), parabola jest skierowana ramionami w dół, więc funkcja rośnie na \((-\infty, 3\rangle\).

Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędna wierzchołka:
\[p = -\frac{b}{2a}\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia osi symetrii.

**Dział 7 - postać iloczynowa:**
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\]
W Sposobie 1 odczytaliśmy miejsca zerowe wprost z postaci iloczynowej i skorzystaliśmy z symetrii paraboli.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| B | \((-\infty, 5\rangle\) - wzięto jedno z miejsc zerowych (\(x = -5\) bez znaku minus, czyli \(\|{-5}\| = 5\)) zamiast osi symetrii |
| C | \((-\infty, 11\rangle\) - wzięto drugie miejsce zerowe \(x_2 = 11\) jako oś symetrii |
| D | \(\langle 6, +\infty)\) - odwrócono sens (dla paraboli skierowanej w dół to byłby przedział **malejący**, a i tak 6 to błędna wartość - wynikająca np. z dodania miejsc zerowych \(-5 + 11 = 6\) bez dzielenia przez 2) |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii to **średnia** miejsc zerowych: \(\frac{x_1 + x_2}{2}\), a nie sama suma \(x_1 + x_2\). Pomylenie tych dwóch wartości to najczęstszy błąd.

> ⚠️ **Uwaga:** Znak współczynnika \(a\) decyduje o kierunku wzrostu. Przy \(a < 0\) parabola rośnie **przed** wierzchołkiem i maleje **po** - odwrotnie niż przy \(a > 0\)!

> ⚠️ **Uwaga:** Przedział wzrostu funkcji kwadratowej jest **lewostronnie nieograniczony** (lub prawostronnie przy \(a > 0\)) - odpowiedź D sugeruje przedział rosnący po wierzchołku, co byłoby prawdą tylko dla paraboli skierowanej w górę.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Wierzchołek paraboli z miejsc zerowych
Miejsca zerowe: \(x_1 = -5\), \(x_2 = 11\). Współrzędna \(x\) wierzchołka:
\[p = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{-5 + 11}{2} = 3.\]
Współczynnik wiodący \(a = -2 < 0\) → parabola ma ramiona **w dół**. Funkcja jest rosnąca od \(-\infty\) do wierzchołka \(p = 3\), czyli przedział rosnący to \((-\infty, 3\rangle\).

### Sposób 2 - Pochodna
\(f(x) = -2(x^2 - 6x - 55) = -2x^2 + 12x + 110\). Pochodna: \(f'(x) = -4x + 12\). Miejsce zerowe \(f'\): \(x = 3\). \(f\) rośnie gdy \(f' > 0\), czyli \(-4x + 12 > 0 \Rightarrow x < 3\). Przedział rosnący: \((-\infty, 3\rangle\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \((-\infty, 5\rangle\)** - ktoś wziął średnią \(|{-5}|\) i \(11/2\), lub inne pomyłki.
- **C. \((-\infty, 11\rangle\)** - błędnie wzięto większe z miejsc zerowych jako wierzchołek.
- **D. \(\langle 6, +\infty)\)** - parabola w dół NIE rośnie po wierzchołku.

**Pamiętaj:** wierzchołek paraboli \(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\) ma \(p = \tfrac{x_1+x_2}{2}\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/10)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F10)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (3 pkt) Dana jest prosta l o równaniu 2 2 3 x y oraz punkt ( ) 2 ,3 - A . Wykres funkcji liniowej f jest prostopadły do prostej l , punkt A należy do
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-2) (28) Funkcja liniowa 𝑓 przyjmuje wartość 2 dla argumentu 0, a ponadto 𝑓(4) -𝑓(2) = 6. Wyznacz wzór funkcji 𝑓. Odpowiedź: EMAP-P0_100 Rozwiązan
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-2) Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem ( ) 2 f x x bx c + jest parabola, na której leży punkt ( ) 0, 5 A = . Osią symetrii tej parab
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-1) Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (𝑘+ 2)𝑥+ (𝑘-3), gdzie 𝑘 jest liczbą rzeczywistą. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybier

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_