# Matematyka — zadanie 11

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/11
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zadanie 11. (0-1)
Ciąg (
)
na
jest określony wzorem
(
)
6
16
na
n
dla
1
n ≥. Suma dziesięciu początkowych
wyrazów tego ciągu jest równa
A.
54
B.
126
C.
630
D.
270
Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 6(n-16) dla n ≥ 1. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa A. -54; B. -126; C. -630; D. -270.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C (\(-630\))

## Sposób 1 - wzór na sumę ciągu arytmetycznego

**Zauważamy, że ciąg jest arytmetyczny**, ponieważ wzór \(a_n = 6(n - 16)\) jest funkcją liniową \(n\):
\[a_n = 6n - 96\]
Różnica między kolejnymi wyrazami jest stała i wynosi \(r = 6\).

**Obliczamy pierwszy i dziesiąty wyraz:**
\[a_1 = 6(1 - 16) = 6 \cdot (-15) = -90\]
\[a_{10} = 6(10 - 16) = 6 \cdot (-6) = -36\]

**Stosujemy wzór na sumę \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego:**
\[S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{-90 + (-36)}{2} \cdot 10 = \frac{-126}{2} \cdot 10 = -63 \cdot 10 = \mathbf{-630}\]

## Sposób 2 - bezpośrednie sumowanie algebraiczne

Wyłączamy stałą 6 przed sumę i rozbijamy:
\[S_{10} = \sum_{n=1}^{10} 6(n-16) = 6 \sum_{n=1}^{10}(n - 16) = 6\left(\sum_{n=1}^{10} n - 16 \cdot 10\right)\]

Suma \(1 + 2 + \ldots + 10 = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55\), więc:
\[S_{10} = 6\left(55 - 160\right) = 6 \cdot (-105) = \mathbf{-630}\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego:
\[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia \(S_{10}\).

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\[a_n = a_1 + (n-1)r\]
Posłużył do zidentyfikowania ciągu jako arytmetycznego (różnica \(r = 6\)) i wyznaczenia \(a_{10}\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| **A** \((-54)\) | Obliczenie różnicy \(a_{10} - a_1 = -36 - (-90) = 54\) zamiast sumy, a następnie zmiana znaku - mylenie sumy wyrazów z różnicą skrajnych wyrazów |
| **B** \((-126)\) | Obliczenie \(a_1 + a_{10} = -90 + (-36) = -126\), ale **zapomnienie pomnożenia przez \(\frac{n}{2} = 5\)** - to najczęstszy błąd! |
| **D** \((-270)\) | Obliczenie tylko członu korekcyjnego ze wzoru \(S_{10} = 10a_1 + \frac{9 \cdot 10}{2} \cdot 6\): wyraz \(\frac{9 \cdot 10}{2} \cdot 6 = 270\) wziąć z błędnym znakiem i zapomnieć dodać \(10a_1 = -900\) |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\) to **iloczyn** średniej arytmetycznej skrajnych wyrazów i liczby wyrazów. Odpowiedź B to właśnie ta średnia bez pomnożenia przez \(n\) - klasyczna pomyłka!

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \(a_{10} = 6(10 - 16) = -36\) ze stwierdzeniem „dziesiąty wyraz to \(-6\)". Zawsze pamiętaj, żeby pomnożyć przez 6!

> ⚠️ **Uwaga:** Gdy wzór \(a_n\) jest liniowy w \(n\), ciąg **zawsze jest arytmetyczny** - możesz od razu sięgnąć po wzór na sumę. Nie musisz wypisywać wszystkich 10 wyrazów.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego
\(a_n = 6n - 96\) - ciąg arytmetyczny o \(a_1 = 6\cdot 1 - 96 = -90\) i różnicy \(r = 6\).
\[a_{10} = 6\cdot 10 - 96 = -36.\]
Suma dziesięciu początkowych wyrazów:
\[S_{10} = \dfrac{a_1 + a_{10}}{2}\cdot 10 = \dfrac{-90 + (-36)}{2}\cdot 10 = \dfrac{-126}{2}\cdot 10 = -63\cdot 10 = -630.\]

### Sposób 2 - Ze wzoru \(S_n = \tfrac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n\)
\[S_{10} = \dfrac{2\cdot(-90) + 9\cdot 6}{2}\cdot 10 = \dfrac{-180 + 54}{2}\cdot 10 = \dfrac{-126}{2}\cdot 10 = -630.\]

### Sposób 3 - Bezpośrednia suma
\[\sum_{n=1}^{10} 6(n-16) = 6\sum_{n=1}^{10}(n-16) = 6\left(\sum_{n=1}^{10} n - 160\right) = 6(55 - 160) = 6\cdot(-105) = -630.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(-54\)** - za mała.
- **B. \(-126\)** - to \(a_1 + a_{10}\), a nie suma.
- **D. \(-270\)** - inne błędne obliczenie.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/11)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F11)

## Podobne zadania

- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3) — Zadanie 3. (4 pkt) Widownia wokół boiska do koszykówki podzielona jest na cztery sektory. W pierwszym rzędzie każdego sektora jest 8 miejsc, a w każdym następny
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (4 pkt) Ania przeczytała książkę science-fiction w ciągu 13 dni, przy czym każdego dnia czytała o taką samą liczbę stron więcej, niż w dniu poprzedni
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (0-3) Pierwszy wyraz ciągu ( ) na , określonego dla 1 ≥ n , jest równy 2. Wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek 2 1 3 = ⋅ n n a a n . Oblicz 
- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/17) — Zadanie 17. (0-2) Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł. Oblicz kwotę 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_