# Matematyka — zadanie 12

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/12
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zadanie 12. (0-1)
Dany jest ciąg geometryczny (
)
na
, w którym
1
72
a =
i
4
9
a =
. Iloraz q tego ciągu jest równy
A.
1
2
q =
B.
1
6
q =
C.
1
4
q =
D.
1
8
q =
Dany jest ciąg geometryczny (a_n), w którym a_1 = 72 i a_4 = 9. Iloraz q tego ciągu jest równy A. q = 1/2; B. q = 1/6; C. q = 1/4; D. q = 1/8.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(q = \dfrac{1}{2}\)

## Sposób 1 - Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego

W ciągu geometrycznym \(n\)-ty wyraz wyraża się wzorem:
\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]

Znamy \(a_1 = 72\) i \(a_4 = 9\). Podstawiamy \(n = 4\):
\[a_4 = a_1 \cdot q^{4-1} = a_1 \cdot q^3\]
\[9 = 72 \cdot q^3\]

Dzielimy obie strony przez 72:
\[q^3 = \frac{9}{72} = \frac{1}{8}\]

Wyciągamy pierwiastek sześcienny:
\[q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2}\]

**Zatem \(q = \dfrac{1}{2}\).**

## Sposób 2 - Weryfikacja przez wypisanie wyrazów ciągu

Sprawdzamy, czy przy \(q = \frac{1}{2}\) kolejne wyrazy rzeczywiście dają \(a_4 = 9\):

\[a_1 = 72\]
\[a_2 = 72 \cdot \frac{1}{2} = 36\]
\[a_3 = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18\]
\[a_4 = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 \checkmark\]

Ciąg \(72, 36, 18, 9, \ldots\) jest poprawnym ciągiem geometrycznym z ilorazem \(q = \dfrac{1}{2}\).

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]
Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1, podstawiając \(n = 4\), aby ustawić równanie na \(q\).

**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - pierwiastek stopnia \(n\):
\[\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}, \quad \text{bo } \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}\]
Użyliśmy tego przy wyciąganiu pierwiastka sześciennego z \(\dfrac{1}{8}\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| B | \(q = \frac{1}{6}\) - uczeń dzieli \(\frac{a_4}{a_1} = \frac{9}{72} = \frac{1}{8}\), a potem myli się i "dzieli przez 3" zamiast brać pierwiastek: \(\frac{1}{8} \div 3\) nie ma tu sensu, ale pojawia się błędne skojarzenie z "3 krokami" |
| C | \(q = \frac{1}{4}\) - uczeń oblicza \(\frac{1}{8}\) poprawnie, ale zamiast \(\sqrt[3]{\frac{1}{8}}\) liczy \(\sqrt{\frac{1}{16}}\), mieszając liczbę kroków (liczy "od 1 do 4" jako 2 kroki zamiast 3) |
| D | \(q = \frac{1}{8}\) - uczeń poprawnie oblicza \(q^3 = \frac{1}{8}\), ale **zapomina wyciągnąć pierwiastek sześcienny** i podaje \(q^3\) jako \(q\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Wykładnik we wzorze to \(n - 1\), nie \(n\). Dla \(a_4\) mamy \(q^{4-1} = q^3\), a **nie** \(q^4\). To najczęstszy błąd!

> ⚠️ **Uwaga:** Na końcu trzeba wziąć pierwiastek sześcienny z \(\dfrac{1}{8}\), nie kwadratowy. Mamy równanie \(q^3 = \dfrac{1}{8}\), więc \(q = \sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}\). Zapamiętaj: \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}\).

> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz ciągu geometrycznego **nie musi być liczbą całkowitą** - ułamki takie jak \(\dfrac{1}{2}\) są jak najbardziej poprawne, a ciąg wtedy maleje.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Ze wzoru \(a_n = a_1\cdot q^{n-1}\)
\[a_4 = a_1\cdot q^3 \Rightarrow 9 = 72\cdot q^3 \Rightarrow q^3 = \dfrac{9}{72} = \dfrac{1}{8}.\]
Stąd:
\[q = \sqrt[3]{\dfrac{1}{8}} = \dfrac{1}{2}.\]

### Sposób 2 - Sprawdzanie
Dla \(q = \tfrac{1}{2}\): \(a_1 = 72, a_2 = 36, a_3 = 18, a_4 = 9\). ✓

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(q = \tfrac{1}{6}\)** - dałoby \(a_4 = 72\cdot\tfrac{1}{216} = \tfrac{1}{3}\), nie \(9\).
- **C. \(q = \tfrac{1}{4}\)** - dałoby \(a_4 = 72\cdot\tfrac{1}{64} = \tfrac{9}{8}\).
- **D. \(q = \tfrac{1}{8}\)** - to wartość \(q^3\), a nie \(q\). Typowa pułapka!

**Pułapka:** pamiętaj \(a_4 = a_1 q^3\), a nie \(a_1 q^4\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/12)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F12)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Nieskończony ciąg liczbowy ( ) n a jest określony wzorem 1 2 n a n , 1, 2, 3, n a) Oblicz, ile wyrazów ciągu ( ) n a jest mniejszych od 1,975
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny ( ) na , gdzie 1 n ≥. Wiadomo, że dla każdego 1 n ≥ suma n początkowych wyrazów 1 2 n n S a a a wyraża się wzorem
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sz
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_