# Matematyka — zadanie 13

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/13
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

Dany jest trapez ABCD , w którym przekątna AC jest prostopadła do ramienia BC , AD = DC oraz \Sigma ABC = \(50^{\circ}\)

/matma-quiz/images/cke/MMA-P1_1P-163/z13.png

. D C \(\beta 50^{\circ}\) A B Stąd wynika, że

A. \(\beta = 100^\circ\)
B. \(\beta = 120^\circ\)
C. \(\beta = 110^\circ\)
D. \(\beta = 130^\circ\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A

**β = 100°**

## Sposób 1 - kąty naprzemianległe + trójkąt równoramienny

**Krok 1: Kąt w trójkącie ABC**

W trójkącie \(ABC\):
- \(\angle ACB = 90°\) (bo \(AC \perp BC\))
- \(\angle ABC = 50°\) (dane)

\[\angle BAC = 180° - 90° - 50° = 40°\]

**Krok 2: Kąt naprzemianległy**

Trapez \(ABCD\) ma podstawy \(AB \parallel DC\). Przekątna \(AC\) jest sieczną. **Kąty naprzemianległe** przy równoległych prostych są równe:

\[\angle DCA = \angle BAC = 40°\]

**Krok 3: Sprawdzenie kąta BCD**

\[\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 90° + 40° = 130°\]

Kontrola (kąty przyległe w trapezie): \(\angle ABC + \angle BCD = 50° + 130° = 180°\) ✓

**Krok 4: Trójkąt ADC - równoramienny**

Trójkąt \(ADC\) ma \(|AD| = |DC|\), więc jest **równoramienny**. Kąty leżące naprzeciwko równych boków są równe:
- Naprzeciwko \(DC\) leży \(\angle DAC\)
- Naprzeciwko \(AD\) leży \(\angle DCA = 40°\)

Zatem:
\[\angle DAC = \angle DCA = 40°\]

**Krok 5: Kąt β**

\[\beta = \angle ADC = 180° - \angle DAC - \angle DCA = 180° - 40° - 40° = \mathbf{100°}\]

## Sposób 2 - suma kątów trapezu

Z poprzednich kroków wiemy:
\[\angle DAC = 40°, \quad \angle CAB = 40°\]

Zatem:
\[\angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = 40° + 40° = 80°\]

W trapezie \(AB \parallel DC\) kąty przy tym samym ramieniu \(AD\) są **dopełniające** (kąty przyległe wewnętrzne):
\[\angle DAB + \angle ADC = 180°\]
\[80° + \beta = 180°\]
\[\beta = \mathbf{100°}\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie o kątach naprzemianległych:

Gdy \(AB \parallel DC\) i \(AC\) jest sieczną:
\[\angle BAC = \angle DCA\]

Użyliśmy tego w **Kroku 2**, aby przenieść kąt 40° na stronę trójkąta \(ADC\).

**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - suma kątów w trójkącie:
\[\alpha + \beta + \gamma = 180°\]

Użyliśmy w **Kroku 1** (trójkąt \(ABC\)) i **Kroku 5** (trójkąt \(ADC\)).

**Własność trójkąta równoramiennego (Planimetria)** - w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe. Tutaj: \(|AD| = |DC|\), więc \(\angle DAC = \angle DCA\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| **B** (\(120°\)) | Błędne sumowanie kątów: uczeń bierze \(\angle DAB = 60°\) zamiast \(80°\), np. zapominając dodać kąt \(\angle CAB = 40°\) do \(\angle DAC\) |
| **C** (\(110°\)) | Mylenie kątów trójkąta równoramiennego: uczeń zakłada \(\angle ADC = \angle ACD\) (zamiast \(\angle DAC = \angle DCA\)), otrzymując \(\beta = 40°\), a potem liczy resztę błędnie |
| **D** (\(130°\)) | Pomylenie \(\beta = \angle ADC\) z \(\angle BCD = 130°\) - uczeń odczytuje kąt przy \(C\) zamiast przy \(D\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** \(|AD| = |DC|\) oznacza, że **boki** trójkąta \(ADC\) są równe - stąd równe są kąty **naprzeciwko** tych boków (\(\angle DAC = \angle DCA\)), a **nie** kąty przy wierzchołkach \(A\) i \(D\).

> ⚠️ **Uwaga:** Kąty naprzemianległe (\(\angle BAC = \angle DCA\)) zachodzą dlatego, że \(AB \parallel DC\). Sprawdź zawsze, które boki są podstawami trapezu!

> ⚠️ **Uwaga:** \(\angle BCD = 130°\) jest kątem przy \(C\), nie przy \(D\) - łatwo tu o pomyłkę przy odczycie rysunku.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Analiza trójkątów
W trójkącie prostokątnym \(ABC\) (kąt prosty przy \(C\)): \(\angle ABC = 50^\circ\), więc \(\angle BAC = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\).

W trapezie \(ABCD\) z \(|AD| = |DC|\), trójkąt \(ADC\) jest równoramienny. W trapezie proste \(AB\) i \(DC\) są równoległe, więc kąty naprzemianległe: \(\angle ACD = \angle BAC = 40^\circ\) (jako kąty naprzemianległe przy przecięciu \(AC\) dwoma równoległymi prostymi \(AB\) i \(CD\)).

Ponieważ \(|AD| = |DC|\), trójkąt \(ADC\) jest równoramienny, więc \(\angle DAC = \angle DCA = 40^\circ\).

Zatem: \(\beta = \angle ADC = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ\).

### Sposób 2 - Suma kątów trapezu
Kąty trapezu przy ramieniu \(BC\): \(\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ\), więc \(\angle BCD = 130^\circ\).
Kąt \(BCA = 90^\circ\) (prostopadłość), więc \(\angle ACD = 130^\circ - 90^\circ = 40^\circ\).
Trójkąt \(ADC\) równoramienny: \(\angle DAC = 40^\circ\). Suma kątów w trójkącie: \(\beta = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(120^\circ\)** - wariant pomyłkowy.
- **C. \(110^\circ\)** - błędne obliczenie kątów.
- **D. \(130^\circ\)** - wzięto kąt \(\angle BCD\) zamiast \(\angle ADC\).

**Trik:** w trapezie sumuj \(180^\circ\) dla kątów przy tym samym ramieniu.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/13)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F13)

## Podobne zadania

- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/7) — Zadanie 7. (5 pkt) Szkic przedstawia kanał ciepłowniczy, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem. Wewnątrz kanału znajduje się rurociąg składający się z tr
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-4) W trapezie prostokątnym 𝐴𝐵𝐶𝐷 dłuższa podstawa 𝐴𝐵 ma długość 7,5. Krótsza przekątna 𝐴𝐶 ma długość równą 6 i dzieli trapez na dwa trójkąty prost
- [Zadanie 30](https://matura.lol/question/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30) — Zadanie 30. (0-4) W trójkącie ABC dane są długości boków 15 AB i 12 AC = oraz 4 5 cosα = , gdzie BAC α =  . Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpow
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2021-marzec-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/19) — Zadanie 19. (0-3) Na rysunku przedstawiono kwadrat ABCD o polu 400 cm2. Figurę tę podzielono na kwadrat K1 o polu 49 cm2 i kwadrat K2 oraz figurę F (patrz rysun

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_