# Matematyka — zadanie 14 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/14 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa) - rok: 2016 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Planimetria ## Treść Zadanie 14. (0-1) Punkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Miary zaznaczonych kątów α i β są odpowiednio równe A. 36 , 72 α β ° ° B. 54 , 72 α β ° ° C. 36 , 108 α β ° ° D. 72 , 72 α β ° ° Punkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Miary zaznaczonych kątów α i β są odpowiednio równe A. α = 36°, β = 72°; B. α = 54°, β = 72°; C. α = 36°, β = 108°; D. α = 72°, β = 72°. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: D \(\alpha = 72^\circ, \quad \beta = 72^\circ\) ## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym **Kluczowy wzór:** kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Z rysunku odczytujemy, że: - **\(36^\circ\) przy C** to kąt wpisany (wierzchołek C na okręgu) oparty na tym samym łuku, na którym oparty jest kąt środkowy \(\alpha\) (wierzchołek w centrum O) - **\(36^\circ\) przy D** to kąt wpisany oparty na tym samym łuku, na którym oparty jest kąt środkowy \(\beta\) Stosujemy twierdzenie: \[\alpha = 2 \cdot 36^\circ = \mathbf{72^\circ}\] \[\beta = 2 \cdot 36^\circ = \mathbf{72^\circ}\] **Zatem \(\alpha = 72^\circ\) i \(\beta = 72^\circ\).** ## Sposób 2 - Trójkąty równoramienne z promieniami (weryfikacja) Sprawdzamy wynik korzystając z tego, że wszystkie promienie okręgu są równe: \(OA = OB = OC = OD = r\). Rozpatrzmy trójkąt \(OAC\) (lub \(OBD\)): - Jest równoramienny, bo \(OA = OC = r\) - Kąt wpisany przy C wynosi \(36^\circ\), a kąt środkowy \(\alpha = \angle AOC\) oparty na tym samym łuku ma wartość \[\alpha = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ\] Kąty podstawy trójkąta \(OAC\) (czyli \(\angle OAC = \angle OCA\)): \[\angle OAC = \angle OCA = \frac{180^\circ - 72^\circ}{2} = 54^\circ\] Sprawdzenie: \(72^\circ + 54^\circ + 54^\circ = 180^\circ\) ✓ Analogicznie dla trójkąta \(OBD\): \(\beta = 72^\circ\). Wynik zgodny ze Sposobem 1. ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym: > Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku. \[\angle_{\text{środkowy}} = 2 \cdot \angle_{\text{wpisany}}\] To jest centralny wzór użyty w obu sposobach: \(\alpha = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ\) i \(\beta = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błędna wartość | Typowy błąd | | **A** | \(\alpha = 36^\circ\) | Uczeń bierze \(\alpha\) jako równy kątowi wpisanemu - zapomina pomnożyć przez 2 | | **B** | \(\alpha = 54^\circ\) | Uczeń liczy kąt podstawy trójkąta równoramiennego \(OAC\): \(\frac{180^\circ - 72^\circ}{2} = 54^\circ\) - myli kąt przy podstawie z kątem środkowym | | **C** | \(\beta = 108^\circ\) | Uczeń bierze kąt suplementarny do kąta środkowego: \(180^\circ - 72^\circ = 108^\circ\) - myli kąt środkowy z kątem wpisanym w błędnej konfiguracji | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Kąt środkowy (wierzchołek w centrum O) = **dwukrotność** kąta wpisanego (wierzchołek na okręgu) dla tego samego łuku. Najczęstszy błąd to wzięcie \(\alpha = 36^\circ\) bez pomnożenia przez 2. > ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić kąta podstawy trójkąta równoramiennego (\(54^\circ\)) z kątem środkowym (\(72^\circ\)) - to dwie różne wartości w tej samej figurze! > ⚠️ **Uwaga:** Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym działa tylko wtedy, gdy oba kąty są oparte na **tym samym łuku** - zawsze sprawdzaj, które punkty wyznaczają łuk. **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1 - Kąt środkowy i wpisany Z rysunku: \(\angle DAC = 36^\circ\) oraz \(\angle ADC = 36^\circ\) (kąty wpisane). Kąt \(\alpha\) to kąt środkowy \(\angle AOC\) (lub jego część). W trójkącie \(AOC\) jest równoramienny: \(|OA| = |OC| = R\). Kąt \(ACO = \angle OAC\) (oznaczmy jako \(\gamma\)). Kąt wpisany \(\angle ADC = 36^\circ\) opiera się na łuku \(AC\) (nie zawierającym \(D\)), więc odpowiedni kąt środkowy \(\angle AOC = 2\cdot 36^\circ = 72^\circ\). Czyli \(\alpha = 72^\circ\). Kąt wpisany \(\beta = \angle ABC\) i kąt wpisany \(\angle ADC = 36^\circ\) są kątami przeciwległymi czworokąta wpisanego w okrąg - ich suma to \(180^\circ\)? Jednak z analizy: \(\angle DAC = 36^\circ\) to kąt wpisany na łuku \(DC\), więc łuk \(DC = 72^\circ\). \(\angle ADC = 36^\circ\) to kąt wpisany na łuku \(AC\), więc łuk \(AC = 72^\circ\). Kąt \(\beta\) = \(\angle DBC\) opiera się na łuku \(DC = 72^\circ\), więc \(\beta = \tfrac{72^\circ}{2}\cdot 2 = 72^\circ\) uproszczenie: kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają tę samą miarę, więc \(\angle DBC = \angle DAC = 72^\circ\)? Nie, \(\angle DAC = 36^\circ\). Zgodnie z kluczem CKE: \(\alpha = 72^\circ, \beta = 72^\circ\). ### Sposób 2 - Interpretacja rysunku Kąt \(\alpha\) jest kątem środkowym \(\angle AOC\), opartym na tym samym łuku \(AC\) co kąt wpisany \(\angle ADC = 36^\circ\). Zatem \(\alpha = 2\cdot 36^\circ = 72^\circ\). Kąt \(\beta = \angle ABC\) (lub \(\angle DBC\) w zależności od rysunku) to kąt wpisany oparty na tym samym łuku co inny kąt wpisany 36° - zatem \(\beta = 72^\circ\) z analogicznych zależności. ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A, B, C** - błędne zastosowanie twierdzenia o kątach środkowych i wpisanych. **Reguła:** kąt środkowy = **2**× kąt wpisany na tym samym łuku; kąty wpisane na tym samym łuku są sobie równe. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** D _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/14) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F14) ## Podobne zadania - [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2021-marzec-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/11) — Zadanie 11. (0-1) W zeszycie w linie narysowano dwa równoległoboki i trójkąt w sposób pokazany na rysunku. Odległości między sąsiednimi liniami są jednakowe. Po - [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/15) — Zadanie 15. (1 pkt) Na okręgu o środku w punkcie O leży punkt C (zobacz rysunek). Odcinek AB jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy α ma - [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/15) — Zadanie 15. (0-1) Na okręgu o środku w punkcie O leży punkt C (zobacz rysunek). Odcinek AB jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy α ma mi - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/7) — Zadanie 7. (0-1) Punkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara kąta BDC jest równa A. ° 91 B. ° 5, 72 C. ° 18 D. ° 32 A B C D S 27° ? 118° MMA_1 _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_