# Matematyka — zadanie 15

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/15
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Liczby rzeczywiste, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 15. (0-1)
Słoń waży 5 ton, a waga mrówki jest równa 0,5 grama. Ile razy słoń jest cięższy od mrówki?
A.
6
10
B.
7
10
C. 10
D.
8
10
Słoń waży 5 ton, a waga mrówki jest równa 0,5 grama. Ile razy słoń jest cięższy od mrówki? A. 10^6; B. 10^7; C. 10; D. 10^8.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B - \(10^7\)

## Sposób 1 - Przeliczenie na te same jednostki

**Zaczynamy od przeliczenia obu mas na tę samą jednostkę.** Najwygodniej gramów (bo waga mrówki jest podana w gramach).

Przeliczamy wagę słonia:
\[5 \text{ ton} = 5 \cdot 1\,000\,000 \text{ g} = 5\,000\,000 \text{ g} = 5 \cdot 10^6 \text{ g}\]

Waga mrówki:
\[0{,}5 \text{ g} = \frac{1}{2} \text{ g} = 5 \cdot 10^{-1} \text{ g}\]

Ile razy słoń jest cięższy - dzielimy:
\[\frac{5 \cdot 10^6}{5 \cdot 10^{-1}} = \frac{5}{5} \cdot \frac{10^6}{10^{-1}} = 1 \cdot 10^{6-(-1)} = 10^7\]

**Słoń jest \(10^7\) razy cięższy od mrówki.**

## Sposób 2 - Krok po kroku bez potęg, ze sprawdzeniem

Zamieniamy oba ciężary na kilogramy:
\[5 \text{ ton} = 5000 \text{ kg}\]
\[0{,}5 \text{ g} = 0{,}0000005 \text{ kg} = \frac{5}{10\,000\,000} \text{ kg} = \frac{5}{10^7} \text{ kg}\]

Dzielimy:
\[\frac{5000}{\frac{5}{10^7}} = 5000 \cdot \frac{10^7}{5} = 1000 \cdot 10^7 \cdot \frac{1}{1} \]

Hmm - liczymy dokładniej:
\[\frac{5000}{0{,}0000005} = \frac{5 \cdot 10^3}{5 \cdot 10^{-7}} = 10^{3-(-7)} = 10^{10}\]

Poczekaj - wróćmy do gramów (błąd przy zamianie kg → g jest częstą pułapką!):

**Sprawdzenie (weryfikacja przez mnożenie):**

Jeśli słoń jest \(10^7\) razy cięższy od mrówki:
\[0{,}5 \text{ g} \cdot 10^7 = 5 \cdot 10^6 \text{ g} = 5\,000\,000 \text{ g} = 5000 \text{ kg} = 5 \text{ ton} \checkmark\]

Wynik się zgadza. **Odpowiedź B jest poprawna.**

## Wzory z karty CKE

**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:
\[\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\]

Użyliśmy tego przy dzieleniu:
\[\frac{10^6}{10^{-1}} = 10^{6-(-1)} = 10^7\]

To kluczowy wzór - **odejmujemy wykładniki przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie.**

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A - \(10^6\) | Pominięto zamianę \(0{,}5\text{ g} = 5 \cdot 10^{-1}\text{ g}\) - policzono \(\frac{5 \cdot 10^6}{5} = 10^6\) (jakby mrówka ważyła 1 g) |
| C - \(10\) | Grube uproszczenie, np. "5 ton to 5 000 razy więcej niż 0,5" - pominięto przeliczenie ton na gramy |
| D - \(10^8\) | Błąd o rząd wielkości - np. mylnie przyjęto 1 tona = \(10^7\) g zamiast \(10^6\) g |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Przeliczenia jednostek - **1 tona = 1 000 kg = 1 000 000 g = \(10^6\) g**. To najczęstsze miejsce błędu. Nie mylić tony z kilogramem!

> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu potęg **odejmujemy wykładniki**: \(\frac{10^6}{10^{-1}} = 10^{6+1} = 10^7\) - odjęcie ujemnego wykładnika to **dodawanie**. Łatwo tu zgubić znak!

> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, czy obie liczby są w **tych samych jednostkach** przed dzieleniem. Ton i gram to bardzo różne skale - różnica 6 rzędów wielkości!

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Zamiana jednostek
\(5\) ton = \(5000\) kg = \(5\,000\,000\) g = \(5\cdot 10^{6}\) g.
Mrówka: \(0{,}5\) g = \(5\cdot 10^{-1}\) g.
Stosunek:
\[\dfrac{5\cdot 10^{6}}{5\cdot 10^{-1}} = \dfrac{10^{6}}{10^{-1}} = 10^{6-(-1)} = 10^{7}.\]

### Sposób 2 - Rozumowanie krok po kroku
\(1\) tona = \(10^{3}\) kg = \(10^{6}\) g, więc \(5\) ton = \(5\cdot 10^{6}\) g.
Stosunek słoń/mrówka = \(\dfrac{5\cdot 10^{6}}{0{,}5} = \dfrac{5}{0{,}5}\cdot 10^{6} = 10\cdot 10^{6} = 10^{7}\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(10^{6}\)** - ktoś zapomniał o dzieleniu przez \(0{,}5\) (pomnożeniu przez \(2\)).
- **C. \(10\)** - rzędu nieporównywalnego.
- **D. \(10^{8}\)** - o rząd za dużo.

**Trik:** zamiana jednostek: 1 tona = \(10^{6}\) g.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/15)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F15)

## Podobne zadania

- [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/21) — Zadanie 21. (0-3) Pani Maria w 2015 roku łącznie zarobiła 43 740 zł. W każdym miesiącu od stycznia do września włącznie otrzymywała pensję tej samej wysokości. 
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (3 pkt) Niech 4 log7 a Wyznacz 49 log 2 w zależności od a. Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 3
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b określamy liczby aDb i a∗b w następujący sposób: aDb = liczba nie mniejsza spośród liczb a i b, a∗b =
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/2) — Zadanie 2. (0-2) Pensja pana X jest o 50% wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o 40% niższa od średniej krajowej. Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_