# Matematyka — zadanie 16 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/16 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa) - rok: 2016 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Trygonometria, planimetria ## Treść Zadanie 16. (0-1) Każde z ramion trójkąta równoramiennego ma długość 20. Kąt zawarty między ramionami tego trójkąta ma miarę 150°. Pole tego trójkąta jest równe A. 100 B. 200 C. 100 3 D. 100 2 Każde z ramion trójkąta równoramiennego ma długość 20. Kąt zawarty między ramionami tego trójkąta ma miarę 150°. Pole tego trójkąta jest równe A. 100, B. 200, C. 100√3, D. 100√2. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: A - \(100\) ## Sposób 1 - wzór na pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi Mamy trójkąt równoramienny o ramionach \(a = b = 20\) i kącie między nimi \(\gamma = 150°\). Korzystamy ze wzoru: \[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma\] Podstawiamy: \[P = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20 \cdot \sin 150°\] Kluczowy krok: wyznaczamy \(\sin 150°\). Kąt \(150° = 180° - 30°\), a ze wzoru redukcyjnego: \[\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha\] zatem: \[\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}\] Wracamy do pola: \[P = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot 400 \cdot \frac{1}{2} = \frac{400}{4} = \mathbf{100}\] ## Sposób 2 - wysokość trójkąta (metoda geometryczna) Trójkąt równoramienny z ramionami \(a = b = 20\) i kątem wierzchołkowym \(150°\). Dzielimy go na dwa trójkąty prostokątne symetrycznie względem osi symetrii. Każda połowa ma kąt \(\frac{150°}{2} = 75°\) przy wierzchołku i kąt \(90°\) przy podstawie. Szukamy wysokości \(h\) opuszczonej na podstawę: \[h = 20 \cdot \sin 75°\] ale to nieporęczne. Zamiast tego policzmy inaczej. Podstawa trójkąta (twierdzenie cosinusów): \[c^2 = 20^2 + 20^2 - 2 \cdot 20 \cdot 20 \cdot \cos 150°\] \[c^2 = 400 + 400 - 800 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 800 + 400\sqrt{3}\] To skomplikowane - zatem prostej jest weryfikacja przez Sposób 1. Podstawiamy wynik \(P = 100\) z powrotem: \[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20 \cdot \sin 150° = 200 \cdot \frac{1}{2} = \mathbf{100} \checkmark\] Wynik się zgadza. ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi: \[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma\] Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1 - to najszybsza droga do wyniku. **Dział 9 (Trygonometria, s. 14)** - wzór redukcyjny: \[\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha\] Pozwolił zamienić \(\sin 150°\) na \(\sin 30° = \frac{1}{2}\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | B - \(200\) | Zapomnienie o \(\frac{1}{2}\) we wzorze: \(P = a \cdot b \cdot \sin\gamma = 20 \cdot 20 \cdot \frac{1}{2} = 200\) - brakuje czynnika \(\frac{1}{2}\) | | C - \(100\sqrt{3}\) | Wzięcie \(\sin 150° = \frac{\sqrt{3}}{2}\) zamiast \(\frac{1}{2}\) - pomylenie sinusa i cosinusa kąta \(30°\); albo wzięcie \(\cos 30°\) zamiast \(\sin 30°\) | | D - \(100\sqrt{2}\) | Wstawienie \(\sin 150° = \frac{\sqrt{2}}{2}\) - to wartość \(\sin 45°\), nie \(\sin 150°\) | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Kąt \(150°\) to kąt **rozwarty** - nie widać go w tabelce wartości trygonometrycznych dla kątów ostrych. Trzeba koniecznie użyć wzoru redukcyjnego: \(\sin 150° = \sin(180° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}\). > ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \(\sin 30° = \frac{1}{2}\) z \(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\) - to właśnie prowadzi do odpowiedzi C. Zapamiętaj: "sinus małego kąta jest mały" - \(\sin 30° = 0{,}5\), a \(\cos 30° \approx 0{,}866\). > ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \(P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\) czynnik \(\frac{1}{2}\) jest obowiązkowy - bez niego wychodzi dwa razy za dużo (odpowiedź B). **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1 - Wzór z sinusem kąta \[P = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma\] gdzie \(a = b = 20\), \(\gamma = 150^\circ\). \(\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\). \[P = \dfrac{1}{2}\cdot 20\cdot 20\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{400}{4} = 100.\] ### Sposób 2 - Przez wysokość Odległość od wierzchołka do środka podstawy: kąt przy wierzchołku \(150^\circ\), połowa = \(75^\circ\). Ale prościej: połowa trójkąta to trójkąt prostokątny o przyprostokątnej będącej wysokością \(h\) i przeciwprostokątnej \(20\). Kąt przy wierzchołku równoramiennego trójkąta nad podstawą ma połowę \(75^\circ\). Wysokość \(h = 20\sin(?)\) prościej przez wzór z sin. ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **B. \(200\)** - ktoś pomnożył zamiast dodać \(\tfrac{1}{2}\cdot 20\cdot 20 = 200\), zapominając o \(\sin 150^\circ\). - **C. \(100\sqrt{3}\)** - wzięto \(\sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\) zamiast \(\sin 150^\circ\). - **D. \(100\sqrt{2}\)** - wzięto \(\sin 45^\circ\). **Pamiętaj:** \(\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}\). ## Odpowiedź **Odpowiedź:** A _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/16) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F16) ## Podobne zadania - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Rozwiąż równanie cos2 3cos 2 x x w przedziale 0, 2π . Odpowiedź: MMA_1R Rozwiąż równanie cos 2x + 3cos x = -2 w przedziale <0,2π>. - [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad/3) — Zadanie 3. (4 pkt) Rozwiąż równanie cos2 2 3cos x x   Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 2. 3. Maks. liczba pkt 4 4 Uzyskana liczba pkt Poziom rozszer - [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/18) — Zadanie 18. (0-2) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) zaznaczono kąt o mierze 𝛼 taki, że tg 𝛼= -3 oraz 90° < 𝛼< 180° (zobacz rysunek). Uzupełnij zdani - [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (2 pkt) Kąt jest ostry i 3 sin 2  . Oblicz wartość wyrażenia 2 2 sin 3cos    Odpowiedź: Nr zadania 26. 27. Maks. liczba pkt 2 2 Wypełnia egzam _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_