# Matematyka — zadanie 17 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/17 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa) - rok: 2016 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej ## Treść Zadanie 17. (0-1) Prosta określona wzorem 1 y ax + jest symetralną odcinka AB, gdzie ( ) 3,2 A = - i ( ) 1,4 B = . Wynika stąd, że A. 1 2 a = - B. 1 2 a = C. 2 a = - D. 2 a = 36° B A C O α D 36° β MMA_1P BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) MMA_1P Prosta określona wzorem y=ax+1 jest symetralną odcinka AB, gdzie A=(-3,2) i B=(1,4). Wynika stąd, że A. a = -1/2; a = 1/2; a = -2; a = 2. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: C (\(a = -2\)) ## Sposób 1 - Własności symetralnej (warunek prostopadłości + przechodzenie przez środek) Symetralna odcinka \(AB\) musi spełniać **dwa warunki jednocześnie**: 1. Przechodzi przez **środek** odcinka \(AB\) 2. Jest **prostopadła** do odcinka \(AB\) **Krok 1: Wyznaczamy środek odcinka \(AB\)** \[M = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{-3+1}{2},\ \frac{2+4}{2}\right) = (-1,\ 3)\] **Krok 2: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej \(AB\)** \[k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{4-2}{1-(-3)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\] **Krok 3: Warunek prostopadłości - wyznaczamy \(a\)** Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \(-1\): \[a \cdot k_{AB} = -1\] \[a \cdot \frac{1}{2} = -1\] \[\boxed{a = -2}\] **Krok 4: Sprawdzamy, czy prosta \(y = -2x + 1\) przechodzi przez środek \(M(-1, 3)\)** \[y = -2 \cdot (-1) + 1 = 2 + 1 = 3 \checkmark\] Oba warunki spełnione - odpowiedź to **C**. ## Sposób 2 - Warunek równoodległości (definicja symetralnej) Punkt leży na symetralnej odcinka \(AB\) wtedy i tylko wtedy, gdy jest **jednakowo odległy** od \(A\) i od \(B\). Czyli każdy punkt \((x, y)\) prostej spełnia: \[|PA|^2 = |PB|^2\] Dla punktu \(P = (x,\, ax+1)\) na prostej \(y = ax+1\): \[(x+3)^2 + (ax+1-2)^2 = (x-1)^2 + (ax+1-4)^2\] \[(x+3)^2 + (ax-1)^2 = (x-1)^2 + (ax-3)^2\] Rozwijamy lewą stronę: \[x^2+6x+9 + a^2x^2 - 2ax + 1\] Prawą stronę: \[x^2-2x+1 + a^2x^2 - 6ax + 9\] Odejmujemy stronami: \[6x - 2ax = -2x - 6ax\] \[8x + 4ax = 0\] \[4x(2 + a) = 0\] To musi zachodzić dla **każdego** \(x\), więc: \[2 + a = 0 \implies \boxed{a = -2}\] ## Wzory z karty CKE **Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** Współczynnik kierunkowy prostej przez dwa punkty: \[k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\] Użyty w Kroku 2 do obliczenia nachylenia \(AB\). Środek odcinka: \[x_S = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_S = \frac{y_A + y_B}{2}\] Użyty w Kroku 1. Warunek prostopadłości prostych (współczynniki kierunkowe): \[a_1 \cdot a_2 = -1\] Użyty w Kroku 3 do wyznaczenia \(a\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd | | A: \(a = -\frac{1}{2}\) | Pomylenie znaku przy warunku prostopadłości. Liczenie \(a = -k_{AB}\) zamiast \(a = -\frac{1}{k_{AB}}\). Prosta z \(a = -\frac{1}{2}\) nie jest prostopadła do \(AB\). | | B: \(a = \frac{1}{2}\) | Uczeń przepisał współczynnik kierunkowy **samego odcinka** \(AB\) jako odpowiedź. Prosta równoległa do \(AB\) nie może być jego symetralną! | | D: \(a = 2\) | Obliczono odwrotność \(k_{AB}\) zamiast odwrotności z minusem: \(a = \frac{1}{k_{AB}} = 2\) zamiast \(a = -\frac{1}{k_{AB}} = -2\). Zgubiono znak minus. | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to \(a_1 \cdot a_2 = -1\), nie \(a_1 = a_2\) ani \(a_1 = -a_2\). Symetralna musi być prostopadła - to wymaga odwrotności **z minusem**: \(a = -\frac{1}{k_{AB}}\). > ⚠️ **Uwaga:** Samo sprawdzenie prostopadłości nie wystarczy! Trzeba też zweryfikować, że prosta przechodzi przez środek \(M\). W tym zadaniu warunek przechodzenia przez środek jest już „wbudowany" - skoro prosta ma postać \(y = ax + 1\) i środek wychodzi \(y = 3\) dla \(x=-1\), to sprawdzenie tego kroku ochroni przed błędem numerycznym. > ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić symetralnej (prostopadła dwusieczna odcinka) z symetrią osiową (odbicie punktu). To dwie różne rzeczy! **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1 - Prostopadłość do \(AB\) Symetralna odcinka \(AB\) jest prostopadła do \(AB\). Współczynnik kierunkowy \(AB\): \[m_{AB} = \dfrac{4 - 2}{1 - (-3)} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}.\] Warunek prostopadłości: \(a\cdot m_{AB} = -1\), więc: \[a\cdot\dfrac{1}{2} = -1 \Rightarrow a = -2.\] ### Sposób 2 - Sprawdzenie z środkiem odcinka Środek \(AB\): \(S = \left(\dfrac{-3+1}{2}, \dfrac{2+4}{2}\right) = (-1, 3)\). Jeśli \(a = -2\), prosta: \(y = -2x + 1\). Sprawdzamy, czy przechodzi przez \(S = (-1, 3)\): \[y = -2\cdot(-1) + 1 = 2 + 1 = 3.\ \checkmark\] Zgadza się! ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(a = -\tfrac{1}{2}\)** - błędne zastosowanie warunku (nie spełnia ani prostopadłości, ani przechodzenia przez \(S\)). - **B. \(a = \tfrac{1}{2}\)** - to jest \(m_{AB}\), nie prostopadła. - **D. \(a = 2\)** - zły znak; prostopadła wymaga \(a\cdot m_{AB} = -1\). **Reguła:** dwie proste są prostopadłe \(\iff a_1\cdot a_2 = -1\). ## Odpowiedź **Odpowiedź:** C _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/17) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F17) ## Podobne zadania - [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (7 pkt) Środek okręgu przechodzącego przez punkty ( ) 1, 4 A = i ( ) 6, 3 B = - leży na osi Ox. a) Wyznacz równanie tego okręgu. b) Wyznacz równanie - [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Prosta 𝑘 o równaniu 𝑥+ 𝑦-9 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 1 4 𝑥2 -3 2 𝑥+ 1 4 w punktach 𝐴 oraz 𝐵. Pierwsza współrzędna punktu 𝐴 jest licz - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (6 pkt) Punkt ( 2,5) A = - jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego , ABC w którym AC BC Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC jest zaw - [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-5) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-4, -2) i 𝐵= (-2, 10) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzcho _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_