# Matematyka — zadanie 18

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/18
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Zadanie 7. (0-1)
Spośród liczb, które są rozwiązaniami równania (
)(
)(
)
2
2
8
4
16
0
x
x
x
, wybrano
największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa
A. 12
B. 10
C. 6
D. 4

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Spośród liczb, które są rozwiązaniami równania (x-8)(x^2-4)(x^2+16) = 0 wybrano największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa A. 12, B. 10, C. 6, D. 4.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C

\(a = 1\) i \(b = -3\)

## Sposób 1 - Warunek równoległości prostych (współczynniki kierunkowe)

Układ dwóch równań liniowych **nie ma rozwiązań** wtedy i tylko wtedy, gdy obie proste są **równoległe i różne** - czyli mają takie same współczynniki kierunkowe, ale różne wyrazy wolne.

Zapiszmy obie proste w postaci \(y = ax + b\):

\[y = -ax + 2a \quad \text{(prosta 1, współczynnik kierunkowy: } -a\text{)}\]
\[y = \frac{b}{3}x - 2 \quad \text{(prosta 2, współczynnik kierunkowy: } \frac{b}{3}\text{)}\]

**Warunek równoległości** (równe współczynniki kierunkowe):
\[-a = \frac{b}{3}\]

**Warunek różności** (różne wyrazy wolne): wyrazy wolne to \(2a\) i \(-2\), muszą być różne:
\[2a \neq -2 \implies a \neq -1\]

Sprawdzamy każdą odpowiedź pod warunkiem \(-a = \frac{b}{3}\):

- **A:** \(a = -1,\ b = -3\): \(-(-1) = 1\), \(\frac{-3}{3} = -1\). Mamy \(1 \neq -1\). ✗ Nie spełnia.
- **B:** \(a = 1,\ b = 3\): \(-1\) i \(\frac{3}{3} = 1\). Mamy \(-1 \neq 1\). ✗ Nie spełnia.
- **C:** \(a = 1,\ b = -3\): \(-1\) i \(\frac{-3}{3} = -1\). Mamy \(-1 = -1\). ✓ Spełnia!

Sprawdźmy, czy wyrazy wolne są różne: \(2 \cdot 1 = 2\) i \(-2\). Faktycznie \(2 \neq -2\). ✓

- **D:** \(a = -1,\ b = 3\): \(-(-1) = 1\) i \(\frac{3}{3} = 1\). Mamy \(1 = 1\). ✓ Współczynniki równe!

Ale wyrazy wolne: \(2 \cdot (-1) = -2\) i \(-2\). Mamy \(-2 = -2\) - wyrazy wolne **równe**, więc proste są **identyczne** → układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. ✗

**Zatem jedyna odpowiedź dająca brak rozwiązań to C.**

## Sposób 2 - Podejście przez sprzeczność układu

Układ nie ma rozwiązań wtedy, gdy po przyrównaniu prawych stron otrzymujemy **sprzeczność** (np. \(2 = -2\)).

Przyrównajmy prawe strony:
\[-ax + 2a = \frac{b}{3}x - 2\]

Przenosząc:
\[\left(\frac{b}{3} + a\right)x = 2a + 2\]

Układ nie ma rozwiązań, gdy:
\[\frac{b}{3} + a = 0 \quad \text{(współczynnik przy } x \text{ zeruje się)}\]
\[2a + 2 \neq 0 \quad \text{(prawa strona niezerowa, bo } 0 \cdot x = \text{coś} \neq 0\text{)}\]

Z pierwszego warunku:
\[\frac{b}{3} = -a \implies b = -3a\]

Z drugiego warunku:
\[2a \neq -2 \implies a \neq -1\]

Dla odpowiedzi **C** (\(a = 1, b = -3\)):
- \(b = -3a\): \(-3 = -3 \cdot 1 = -3\) ✓
- \(a \neq -1\): \(1 \neq -1\) ✓

Układ staje się:
\[0 \cdot x = 2 \cdot 1 + 2 = 4\]
\[0 = 4 \quad \text{- sprzeczność!}\]

Brak rozwiązań potwierdzony.

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej i warunek równoległości:

\[y = ax + b, \quad \text{proste równoległe} \iff a_1 = a_2\]

Użyliśmy w obu sposobach: odczytaliśmy współczynniki kierunkowe obu prostych i postawiliśmy warunek ich równości (równoległość) przy jednoczesnej różności wyrazów wolnych (proste różne, nie identyczne).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Wartości | Błąd |
| A | \(a=-1,\ b=-3\) | Współczynniki kierunkowe nierówne (\(1 \neq -1\)) - proste się przecinają, układ ma jedno rozwiązanie |
| B | \(a=1,\ b=3\) | Współczynniki kierunkowe nierówne (\(-1 \neq 1\)) - proste się przecinają, układ ma jedno rozwiązanie |
| D | \(a=-1,\ b=3\) | Współczynniki kierunkowe równe, **ale** wyrazy wolne też równe (\(-2 = -2\)) - proste są identyczne, układ ma nieskończenie wiele rozwiązań |

Odpowiedź D to klasyczna **pułapka**: warunek równoległości jest spełniony, ale proste pokrywają się - to zupełnie inny przypadek!

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Brak rozwiązań to NIE TO SAMO co nieskończenie wiele rozwiązań. Oba przypadki mają zerowy współczynnik przy \(x\) po odjęciu równań - ale w jednym prawa strona jest niezerowa (sprzeczność), a w drugim zerowa (tożsamość). Sprawdź ZAWSZE oba warunki!

> ⚠️ **Uwaga:** Zmienna \(a\) w treści zadania to parametr, nie współczynnik kierunkowy! Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej to \(-a\) (z minusem). Łatwo o błąd znaku przy odczytywaniu.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy sprawdzić tylko jednej odpowiedzi - sprawdź wszystkie cztery, bo zadanie może mieć kilka kandydatów, z których tylko jeden spełnia oba warunki jednocześnie (równoległość I różność).

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Warunek równoległości prostych
Układ nie ma rozwiązań ⟺ proste są równoległe i różne. Proste \(y = -ax + 2a\) i \(y = \tfrac{b}{3}x - 2\) są równoległe gdy mają taki sam współczynnik kierunkowy:
\[-a = \dfrac{b}{3}.\]
I różne gdy mają różne wyrazy wolne:
\[2a \ne -2.\]

Dla \(a = 1\), \(b = -3\): \(-1 = \tfrac{-3}{3} = -1\) ✓. I \(2a = 2 \ne -2\) ✓. ⟹ Brak rozwiązań.

### Sposób 2 - Sprawdzanie wszystkich opcji
- **A. \(a=-1, b=-3\):** \(-(-1) = 1\), \(\tfrac{-3}{3} = -1\). Nie równoległe (\(1 \ne -1\)).
- **B. \(a=1, b=3\):** \(-1 = \tfrac{3}{3} = 1\)? Nie (\(-1 \ne 1\)).
- **C. \(a=1, b=-3\):** \(-1 = -1\) ✓. Wyrazy wolne: \(2\) vs \(-2\), różne. ✓ Brak rozwiązań.
- **D. \(a=-1, b=3\):** \(1 = 1\) ✓. Wyrazy wolne: \(-2\) vs \(-2\), równe. Proste pokrywają się ⟹ **nieskończenie wiele** rozwiązań (nie to, czego chcemy).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A.** Proste się przecinają - układ ma jedno rozwiązanie.
- **B.** Proste się przecinają.
- **D.** Proste pokrywają się - układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

**Pamiętaj:** "brak rozwiązań" ≠ "nieskończenie wiele". Sprawdzaj OBA warunki.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/18)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F18)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 1 1 1 x   ≤     Odpowiedź: Poziom rozszerzony MMA_1R
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 5 10 2 x x x ≤ Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczb
- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/22) — Zadanie 22. (0-4) W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień wypożyczenia.
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-4) Janek, który chodzi ze średnią prędkością 4 , h km a biega ze średnią prędkością 6 , h km zauważył, że biegnąc na popołudniowy trening koszykó

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_