# Matematyka — zadanie 19

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/19
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Równania i nierówności, Częstość zdarzeń – warto wiedzieć

## Treść

Zadanie 19. (0-1)
Do pewnej liczby a dodano 54. Otrzymaną sumę podzielono przez 2. W wyniku tego
działania otrzymano liczbę dwa razy większą od liczby a. Zatem
A.
27
a =
B.
18
a =
C.
24
a =
D.
36
a =
Do pewnej liczby a dodano 54. Otrzymaną sumę podzielono przez 2. W wyniku tego działania otrzymano liczbę dwa razy większą od liczby a. Zatem A. a=27; B. a=18; C. a=24; D. a=36.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B - \(a = 18\)

## Sposób 1 - Równanie z jedną niewiadomą

**Tłumaczymy treść na język matematyki krok po kroku:**

- „Do liczby \(a\) dodano \(54\)" → \(a + 54\)
- „Otrzymaną sumę podzielono przez \(2\)" → \(\frac{a + 54}{2}\)
- „Otrzymano liczbę dwa razy większą od \(a\)" → \(2a\)

**Zapisujemy równanie:**
\[\frac{a + 54}{2} = 2a\]

**Mnożymy obie strony przez \(2\):**
\[a + 54 = 4a\]

**Przenosimy \(a\) na prawą stronę:**
\[54 = 4a - a\]
\[54 = 3a\]

**Dzielimy obie strony przez \(3\):**
\[a = \frac{54}{3} = 18\]

**Odpowiedź: \(a = 18\)**

## Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie do treści zadania)

Sprawdzamy, czy \(a = 18\) spełnia warunki zadania:

- Dodajemy \(54\): \(18 + 54 = 72\)
- Dzielimy przez \(2\): \(\frac{72}{2} = 36\)
- Sprawdzamy: czy \(36 = 2 \cdot 18\)? Tak, \(2 \cdot 18 = 36\) ✓

Wynik zgadza się z treścią - **odpowiedź jest poprawna**.

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy przełożenie treści na równanie i podstawowe działania algebraiczne.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A (\(a = 27\)) | Pominięto dzielenie przez \(2\) i rozwiązano \(a + 54 = 2a\), co daje \(a = 54\) - albo pomylono i wzięto \(\frac{54}{2} = 27\) bez zapisania równania |
| C (\(a = 24\)) | Błąd przy przeniesieniu wyrazów: np. rozwiązano \(\frac{a+54}{2} = 2a\) jako \(a + 54 = 2a\), a potem \(54 = a\) i podzielono przez \(2\) - brak konsekwencji |
| D (\(a = 36\)) | Pomylono „dwa razy większą od \(a\)" z „równą \(36\)" - wzięto wynik końcowy \(\frac{a+54}{2} = 36\) i zatrzymano się na tym etapie, nie korzystając z warunku \(= 2a\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** „Liczba dwa razy większa od \(a\)" to \(2a\), nie \(a + 2\). To klasyczna pułapka - „dwa razy większa" oznacza mnożenie, nie dodawanie!

> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu obu stron przez \(2\) pamiętaj, że mnożysz CAŁĄ prawą stronę: \(2 \cdot 2a = 4a\), nie \(2a + 2\).

> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź wynik, podstawiając do **oryginalnej treści**, nie do przekształconego równania - to natychmiast wykryje błąd rachunkowy.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Zapisanie równania
Treść: \((a + 54) : 2 = 2a\). Mnożymy przez \(2\):
\[a + 54 = 4a \Rightarrow 54 = 3a \Rightarrow a = 18.\]

### Sposób 2 - Sprawdzenie
Dla \(a = 18\): suma \(18 + 54 = 72\). Dzielimy przez \(2\): \(36\). Dwa razy \(a\): \(2\cdot 18 = 36\). ✓

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(a = 27\):** \((27+54)/2 = 40{,}5 \ne 54\).
- **C. \(a = 24\):** \((24+54)/2 = 39 \ne 48\).
- **D. \(a = 36\):** \((36+54)/2 = 45 \ne 72\).

**Uwaga językowa:** "dwa razy większa od \(a\)" oznacza \(2a\) (potocznie); w niektórych interpretacjach \(3a\) (formalnie - dwa razy więcej to \(a + 2a\)).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/19)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F19)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 1 1 1 x   ≤     Odpowiedź: Poziom rozszerzony MMA_1R
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 5 10 2 x x x ≤ Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczb
- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/22) — Zadanie 22. (0-4) W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień wypożyczenia.
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-4) Janek, który chodzi ze średnią prędkością 4 , h km a biega ze średnią prędkością 6 , h km zauważył, że biegnąc na popołudniowy trening koszykó

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_