# Matematyka — zadanie 20 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/20 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa) - rok: 2016 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Stereometria, planimetria ## Treść Zadanie 20. (0-1) Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD . Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta ASC jest równa A. 45° B. 30° C. 75° D. 90° Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta ASC jest równa A. 45°; B. 30°; C. 75°; D. 90°. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: D - \(90^\circ\) ## Sposób 1 - Trójkąt ASC i twierdzenie cosinusów **Ustalamy długości boków trójkąta ASC.** Niech bok kwadratu (i trójkątów bocznych) = \(a\). Skoro wszystkie ściany boczne są trójkątami równobocznymi, krawędzie boczne ostrosłupa spełniają: \[SA = SB = SC = SD = a\] Przekątna kwadratu \(ABCD\) o boku \(a\): \[AC = a\sqrt{2}\] **Stosujemy twierdzenie cosinusów** w trójkącie \(ASC\) (gdzie szukamy kąta przy wierzchołku \(S\)): \[AC^2 = SA^2 + SC^2 - 2 \cdot SA \cdot SC \cdot \cos(\angle ASC)\] Podstawiamy: \[(a\sqrt{2})^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\angle ASC)\] \[2a^2 = 2a^2 - 2a^2 \cos(\angle ASC)\] \[0 = -2a^2 \cos(\angle ASC)\] \[\cos(\angle ASC) = 0\] Zatem: \[\boxed{\angle ASC = 90°}\] ## Sposób 2 - Współrzędne kartezjańskie Przyjmijmy bok kwadratu \(a = 1\) i umieśćmy wierzchołki: \[A = (0,0,0),\quad B = (1,0,0),\quad C = (1,1,0),\quad D = (0,1,0)\] Wierzchołek \(S\) leży nad środkiem kwadratu, czyli \(S = \left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, h\right)\). Z warunku \(SA = 1\) (krawędź boczna = bok podstawy): \[SA = \sqrt{\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{4} + h^2} = 1 \implies h^2 = \frac{1}{2} \implies h = \frac{1}{\sqrt{2}}\] Wektory z \(S\) do \(A\) i \(C\): \[\vec{SA} = A - S = \left(-\tfrac{1}{2},\, -\tfrac{1}{2},\, -\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\] \[\vec{SC} = C - S = \left(\tfrac{1}{2},\, \tfrac{1}{2},\, -\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\] Iloczyn skalarny: \[\vec{SA} \cdot \vec{SC} = \left(-\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right) + \left(-\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right) + \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\] \[= -\tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{2} = 0\] Skoro \(\vec{SA} \cdot \vec{SC} = 0\), odcinki \(SA\) i \(SC\) są **prostopadłe**, czyli: \[\boxed{\angle ASC = 90°}\] ## Wzory z karty CKE **Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - nie bezpośrednio wzór, ale pojęcie ostrosłupa prawidłowego. **Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - Twierdzenie Pitagorasa do obliczenia przekątnej kwadratu: \[AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\] Użyliśmy tego w Sposobie 1. **Dział 10 (Planimetria, s. 17)** - Twierdzenie cosinusów: \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\] Zastosowaliśmy je w trójkącie \(ASC\) do wyznaczenia kąta przy \(S\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | A - \(45°\) | Mylenie kąta \(\angle ASC\) z kątem przy wierzchołku ostrosłupa z krawędzią boczną; albo błędne użycie wzoru na kąt połowy kąta | | B - \(30°\) | Pomylenie kąta między krawędziami bocznymi z kątem w trójkącie bocznym (\(60°\)) i wzięcie połowy | | C - \(75°\) | Wynik "z powietrza" - brak metody, często efekt błędnego dodawania kątów \(45° + 30°\) | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Kąt \(\angle ASC\) to kąt między **krawędziami \(SA\) i \(SC\)** - czyli między dwoma krawędziami bocznymi, **nie** kąt przy podstawie ani kąt w ścianie bocznej. Trójkąt \(ASC\) jest trójkątem przekrojowym ostrosłupa. > ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \(AC\) (przekątna kwadratu = \(a\sqrt{2}\)) z bokiem kwadratu \(a\). To kluczowa różnica - właśnie dlatego, że \(AC = a\sqrt{2}\), wzór cosinusów daje zero. > ⚠️ **Uwaga:** Kąty w równobocznym trójkącie bocznym (np. \(\angle SAB\)) wynoszą \(60°\), ale kąt \(\angle ASC\) leży w **innej płaszczyźnie** - nie można go wprost odczytać z trójkątów bocznych. **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1 - Z twierdzenia Pitagorasa Niech krawędź podstawy = \(a\). Wtedy krawędzie boczne \(|AS| = |CS| = a\) (trójkąty równoboczne). Przekątna podstawy \(|AC| = a\sqrt{2}\). W trójkącie \(ASC\): \(|AS| = |CS| = a\), \(|AC| = a\sqrt{2}\). Sprawdzamy Pitagorasa: \[|AS|^2 + |CS|^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 = (a\sqrt{2})^2 = |AC|^2.\ \checkmark\] Zatem trójkąt \(ASC\) jest prostokątny z kątem prostym przy \(S\): \(\angle ASC = 90^\circ\). ### Sposób 2 - Twierdzenie cosinusów \(|AC|^2 = |AS|^2 + |CS|^2 - 2|AS||CS|\cos(\angle ASC)\) \(2a^2 = a^2 + a^2 - 2a^2\cos(\angle ASC)\) \(0 = -2a^2\cos(\angle ASC)\) \(\cos(\angle ASC) = 0\), więc \(\angle ASC = 90^\circ\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(45^\circ\)** - tyle wynosi połowa. - **B. \(30^\circ\)** - błąd geometryczny. - **C. \(75^\circ\)** - błędne obliczenie. **Kluczowe:** w trójkącie o bokach \(a, a, a\sqrt{2}\) kąt przeciwległy do \(a\sqrt{2}\) wynosi dokładnie \(90^\circ\) (Pitagoras). ## Odpowiedź **Odpowiedź:** D _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/20) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F20) ## Podobne zadania - [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-5) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości 16 H = . Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłu - [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2015-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (4 pkt) Wysokość prostopadłościanu ABCDEFGH jest równa 1, a długość przekątnej BH jest równa sumie długości krawędzi AB i BC. Oblicz objętość tego p - [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-3) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a. Kąt między krawędzią boczną, a krawędzią podstawy ma miarę 45  (zobac - [Zadanie 25](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/25) — Zadanie 25. (0-1) Każda z krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 12. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wysokość te _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_