# Matematyka — zadanie 21 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/21 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa) - rok: 2016 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, prawdopodobieństwo ## Treść Zadanie 21. (0-1) Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła w tych trzech rzutach. Wtedy A. 0 0,25 p ≤ < B. 0,25 0,4 p ≤ ≤ C. 0,4 0,5 p < ≤ D. 0,5 p > Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła w tych trzech rzutach. Wtedy A. 0 ≤ p < 0,25; B. 0,25 ≤ p ≤ 0,4; C. 0,4 < p ≤ 0,5; D. p > 0,5. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: B \(p = 0{,}375\), co należy do przedziału \(\langle 0{,}25;\ 0{,}4 \rangle\). ## Sposób 1 - Schemat Bernoullego Mamy \(n = 3\) rzuty monetą. Sukces = orzeł, \(p_{\text{sukces}} = \frac{1}{2}\), \(q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\). Szukamy prawdopodobieństwa dokładnie \(k = 1\) orła: \[P_3(1) = \binom{3}{1} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2\] Obliczamy krok po kroku: \[\binom{3}{1} = 3\] \[\left(\frac{1}{2}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}\] \[P_3(1) = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8} = 0{,}375\] Teraz sprawdzamy, do którego przedziału należy \(p = 0{,}375\): - \(0{,}375 \geq 0{,}25\) ✓ - \(0{,}375 \leq 0{,}4\) ✓ **Zatem \(p = 0{,}375 \in \langle 0{,}25;\ 0{,}4 \rangle\), odpowiedź B.** ## Sposób 2 - Wyliczenie wprost (przestrzeń zdarzeń) Przy trzech rzutach monetą wszystkie możliwe wyniki to kombinacje O (orzeł) i R (reszka). Przestrzeń zdarzeń ma \(2^3 = 8\) elementów: \[\Omega = \{OOO,\ OOR,\ ORO,\ ROO,\ ORR,\ ROR,\ RRO,\ RRR\}\] Zdarzenie „dokładnie jeden orzeł" to: \[\{OРР,\ ROР,\ RRO\} \quad \Rightarrow \quad 3 \text{ sprzyjające wyniki}\] \[p = \frac{3}{8} = 0{,}375\] **Ten sam wynik - odpowiedź B.** ## Wzory z karty CKE **Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - schemat Bernoullego: \[P_n(k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}\] gdzie \(p\) = prawdopodobieństwo sukcesu w jednym doświadczeniu, \(q = 1 - p\), \(n\) = liczba prób, \(k\) = liczba oczekiwanych sukcesów. Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 dla \(n = 3\), \(k = 1\), \(p = q = \frac{1}{2}\). **Dział 4 (Silnia i symbol Newtona, s. 6)**: \[\binom{3}{1} = \frac{3!}{1! \cdot 2!} = 3\] ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | A | Uczeń myśli, że szansa na dokładnie 1 orła to tylko \(\frac{1}{8}\) - zapomina pomnożyć przez \(\binom{3}{1} = 3\) (nie uwzględnia różnych kolejności) | | C | Błędne obliczenia prowadzą do \(p = \frac{1}{2}\) - np. uczeń liczy prawdopodobieństwo „pierwszego rzutu" zamiast całego zdarzenia | | D | Uczeń może myśleć, że orzeł jest najbardziej prawdopodobnym wynikiem, więc \(p > 0{,}5\) - intuicja myli! | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić „przynajmniej jednego orła" z „dokładnie jednym orłem". Przynajmniej jeden orzeł to zdarzenie \(P = 1 - P_3(0) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\), co dałoby odpowiedź D. Zadanie pyta o **dokładnie** jednego! > ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o współczynniku \(\binom{n}{k}\) w schemacie Bernoullego - uwzględnia on **wszystkie możliwe kolejności** wystąpienia sukcesów. Tu orzeł może wypaść w 1., 2. lub 3. rzucie - stąd mnożnik 3. > ⚠️ **Uwaga:** \(\frac{3}{8} = 0{,}375\) leży **na granicy** - sprawdź dokładnie warunki przedziałów. Przedział B to \(0{,}25 \leq p \leq 0{,}4\), a przedział C to \(0{,}4 < p\). Ponieważ \(0{,}375 < 0{,}4\), należymy do B, nie C. **Poprawna odpowiedź: B** ### Sposób 1 - Wypisanie zdarzeń Wszystkich możliwych wyników (O-orzeł, R-reszka): \(2^3 = 8\). Wyniki z dokładnie jednym orłem: \[\{ORR, ROR, RRO\}\] - \(3\) zdarzenia. \[p = \dfrac{3}{8} = 0{,}375.\] To jest w przedziale \(\langle 0{,}25,\ 0{,}4\rangle\). ✓ ### Sposób 2 - Schemat Bernoulliego Dla trzech rzutów monetą z \(P(O) = P(R) = \tfrac{1}{2}\): \[p = \binom{3}{1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^1\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 3\cdot\dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375.\] ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \([0, 0{,}25)\)** - \(0{,}375 > 0{,}25\). - **C. \((0{,}4, 0{,}5\rangle\)** - \(0{,}375 < 0{,}4\). - **D. \(p > 0{,}5\)** - za dużo. **Pamiętaj:** przy \(n = 3\) rzutach moneta daje \(2^3 = 8\) wyników; wybierz \(\binom{3}{1} = 3\) ułożeń z jednym orłem. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** B _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/21) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F21) ## Podobne zadania - [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (4 pkt) Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo każdego z następujących zdarzeń: a) A - w każdym rzucie wyp - [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (4 pkt) Rzucamy pięć razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że „jedynka” wypadnie co najmniej - [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (0-3) Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe 1 4 . - [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (0-3) W pojemniku jest siedem kul: pięć kul białych i dwie kule czarne. Z tego pojemnika losujemy jednocześnie dwie kule bez zwracania. Następnie - z _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_