# Matematyka — zadanie 22

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/22
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Równania i nierówności, średnia arytmetyczna, statystyka

## Treść

Zadanie 22. (0-1)
Średnia arytmetyczna czterech liczb:
1
x -, 3x, 5
1
x + i 7x jest równa 72 . Wynika stąd, że
A.
9
x =
B.
10
x =
C.
17
x =
D.
18
x =

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Średnia arytmetyczna czterech liczb: x-1, 3x, 5x+1 i 7x jest równa 72. Wynika stąd, że A. x=9; B. x=10; D. x=17; D. x=18.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D (\(x = 18\))

## Sposób 1 - Ze wzoru na średnią arytmetyczną

Średnia arytmetyczna czterech liczb to ich suma podzielona przez 4.

Zapisujemy równanie:

\[\frac{(x-1) + 3x + (5x+1) + 7x}{4} = 72\]

Upraszczamy licznik - zbieramy wyrazy podobne:

\[(x - 1 + 3x + 5x + 1 + 7x) = 16x + 0 = 16x\]

Równanie przyjmuje postać:

\[\frac{16x}{4} = 72\]

\[4x = 72\]

\[x = 18\]

**Odpowiedź: \(x = 18\)**, czyli opcja D.

## Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie \(x = 18\))

Sprawdzamy, czy dla \(x = 18\) średnia rzeczywiście wynosi 72:

- \(x - 1 = 18 - 1 = 17\)
- \(3x = 3 \cdot 18 = 54\)
- \(5x + 1 = 5 \cdot 18 + 1 = 91\)
- \(7x = 7 \cdot 18 = 126\)

Suma: \(17 + 54 + 91 + 126 = 288\)

Średnia: \(\frac{288}{4} = 72\) ✓

**Wynik się zgadza - \(x = 18\) jest poprawne.**

## Wzory z karty CKE

**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:

\[\bar{a} = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}\]

Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio: znając średnią \(\bar{a} = 72\) i cztery wyrazy, ułożyliśmy równanie i wyznaczyliśmy \(x\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A. \(x = 9\) | Podzielono sumę przez 2 zamiast przez 4 (wzięto średnią dwóch środkowych wyrazów zamiast wszystkich czterech), otrzymując \(8x = 72\), czyli \(x = 9\) |
| B. \(x = 10\) | Błędne zliczenie wyrazów - pominięto stałe (\(-1\) i \(+1\) skracają się poprawnie, ale gdy ktoś tego nie zauważy i błędnie zsumuje współczynniki przy \(x\), np. bierze \(1+3+5+7 = 16\) ale liczy \(\frac{16x}{4} = 10 \cdot 4\)) - różne pomyłki rachunkowe prowadzą do \(x \approx 10\) |
| C. \(x = 17\) | Pomylenie wyniku \(x - 1 = 17\) (wartości jednego z wyrazów dla \(x=18\)) z wartością \(x\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Stałe w licznikach (\(-1\) i \(+1\)) sumują się do zera - łatwo je zgubić lub doliczyć podwójnie. Zawsze wypisuj wszystkie człony przed upraszczaniem.

> ⚠️ **Uwaga:** Dzielnik to **liczba wszystkich wyrazów** (tu: 4), nie wartość \(x\) ani liczba zmiennych. Upewnij się, że dzielisz przez 4, a nie przez 2 lub inną liczbę.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy zbieraniu wyrazów podobnych pamiętaj o znakach - \((x - 1)\) to \(+x\) i \(-1\), nie \(+x\) i \(+1\).

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Równanie ze średniej
Średnia = suma przez liczbę wyrazów:
\[\dfrac{(x-1) + 3x + (5x+1) + 7x}{4} = 72.\]
Sumujemy licznik: \(x - 1 + 3x + 5x + 1 + 7x = 16x\).
\[\dfrac{16x}{4} = 72 \Rightarrow 4x = 72 \Rightarrow x = 18.\]

### Sposób 2 - Sprawdzenie
Dla \(x = 18\): liczby to \(17, 54, 91, 126\). Suma: \(17 + 54 + 91 + 126 = 288\). Średnia: \(\tfrac{288}{4} = 72\). ✓

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(x = 9\):** suma \(= 16\cdot 9 = 144\); średnia \(= 36 \ne 72\).
- **B. \(x = 10\):** średnia \(= 40\).
- **C. \(x = 17\):** średnia \(= 68 \ne 72\).

**Kluczowe:** suma 4 wyrażeń (\(x-1, 3x, 5x+1, 7x\)) redukuje się do \(16x\) (wyrazy wolne \(-1 + 1 = 0\)).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/22)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F22)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 1 1 1 x   ≤     Odpowiedź: Poziom rozszerzony MMA_1R
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 5 10 2 x x x ≤ Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczb
- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/22) — Zadanie 22. (0-4) W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień wypożyczenia.
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-4) Janek, który chodzi ze średnią prędkością 4 , h km a biega ze średnią prędkością 6 , h km zauważył, że biegnąc na popołudniowy trening koszykó

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_