# Matematyka — zadanie 23

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/23
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, równania i nierówności

## Treść

Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe \(k\) i \(l\) o równaniach \(y = ax + b\) oraz \(y = mx + n\). Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi.

/matma-quiz/images/cke/MMA-P1_1P-163/z23.png

przedstawione są dwie proste równoległe k i l o równaniach y = ax + b oraz y = mx + n . Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi. y k : y = a x + b 1 x 0 1 l : y = m x + n Zatem

A. \(a\cdot m > 0\) i \(b\cdot n > 0\)
B. \(a\cdot m > 0\) i \(b\cdot n < 0\)
C. \(a\cdot m < 0\) i \(b\cdot n > 0\)
D. \(a\cdot m < 0\) i \(b\cdot n < 0\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B

\(a \cdot m > 0\) i \(b \cdot n < 0\)

## Sposób 1 - odczyt z rysunku + własności prostych równoległych

**Krok 1: Co wiemy o nachyleniach?**

Proste \(k\) i \(l\) są **równoległe**, więc mają **identyczne nachylenia**:
\[a = m\]

Skoro \(a = m\), to:
\[a \cdot m = a \cdot a = a^2\]

Dla dowolnej liczby niezerowej \(a\) (proste nie są poziome, bo przecinają oś \(Oy\) pod kątem), zachodzi:
\[a^2 > 0 \implies \boxed{a \cdot m > 0}\]

**Krok 2: Co wiemy o wyrazach wolnych?**

Proste przecinają oś \(Oy\) w punktach \((0, b)\) i \((0, n)\).

Z rysunku widać, że **początek układu leży między prostymi** - jedna prosta przecina \(Oy\) powyżej zera, a druga poniżej zera. Zatem:

\[b > 0 \quad \text{i} \quad n < 0 \qquad (\text{lub odwrotnie})\]

W każdym razie \(b\) i \(n\) mają **przeciwne znaki**, więc:
\[\boxed{b \cdot n < 0}\]

**Wniosek:** \(a \cdot m > 0\) i \(b \cdot n < 0\) - odpowiedź **B**.

## Sposób 2 - weryfikacja na przykładzie liczbowym

Dopasujmy przykładowe proste zgodne z rysunkiem (nachylenie ujemne, początek między nimi):

- Prosta \(k\): \(y = -x + 3\), czyli \(a = -1\), \(b = 3\) - przecina \(Oy\) powyżej zera
- Prosta \(l\): \(y = -x - 2\), czyli \(m = -1\), \(n = -2\) - przecina \(Oy\) poniżej zera

Sprawdzamy, czy początek leży między prostymi. Dla \(x = 0\):
\[k: y = 3 > 0, \qquad l: y = -2 < 0\]

Punkt \((0, 0)\) faktycznie leży między nimi. ✓

Sprawdzamy odpowiedzi:
\[a \cdot m = (-1) \cdot (-1) = 1 > 0 \quad ✓\]
\[b \cdot n = 3 \cdot (-2) = -6 < 0 \quad ✓\]

Odpowiedź **B** potwierdzona.

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**

Równanie kierunkowe prostej: \(y = ax + b\), gdzie \(a\) to współczynnik kierunkowy (nachylenie).

Proste równoległe: \(a_1 = a_2\) (mają równe współczynniki kierunkowe).

> Użyliśmy tej własności w Kroku 1 - równoległość \(\Rightarrow a = m \Rightarrow a \cdot m = a^2 > 0\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Uczeń poprawnie stwierdza \(a \cdot m > 0\), ale myśli, że „początek między prostymi" oznacza, że oba wyrazy wolne mają ten sam znak. To nieprawda - jeden jest dodatni, drugi ujemny. |
| C | Uczeń myli warunek równoległości - myśli, że proste równoległe mają **przeciwne** nachylenia (pomylenie z prostymi prostopadłymi, gdzie \(a_1 \cdot a_2 = -1\)). |
| D | Połączenie obu błędów z C i A: uczeń myli zarówno znak \(a \cdot m\), jak i \(b \cdot n\). |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Proste równoległe mają **równe** współczynniki kierunkowe (\(a = m\)), a proste **prostopadłe** mają współczynniki spełniające \(a \cdot m = -1\). To fundamentalna różnica - łatwo je pomylić pod presją egzaminu.

> ⚠️ **Uwaga:** „Początek układu leży między prostymi" oznacza, że \((0,0)\) jest między prostymi, co widać na osi \(Oy\): wyrazy wolne \(b\) i \(n\) muszą mieć **przeciwne znaki** (jedna prosta nad osią \(Ox\), druga pod).

> ⚠️ **Uwaga:** Nawet jeśli nie znasz konkretnych wartości \(a, m, b, n\), samo stwierdzenie \(a = m \neq 0\) wystarcza, by wywnioskować \(a \cdot m = a^2 > 0\) - nie trzeba wiedzieć, czy nachylenie jest dodatnie czy ujemne!

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Analiza współczynników z rysunku
Obie proste są **równoległe** i **malejące** (z rysunku), więc oba współczynniki kierunkowe są ujemne: \(a < 0\) i \(m < 0\). Zatem \(a\cdot m > 0\).

Prosta \(k\) przecina oś \(Oy\) powyżej początku układu: \(b > 0\). Prosta \(l\) przecina oś \(Oy\) poniżej początku układu: \(n < 0\). Zatem \(b\cdot n < 0\).

Ostatecznie: \(a\cdot m > 0\) i \(b\cdot n < 0\).

### Sposób 2 - Z geometrii równoległych prostych
Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy: \(a = m\). Stąd \(a\cdot m = a^2 > 0\). Gdy proste są różne, ich wyrazy wolne są różne; gdy początek układu leży **między** nimi, jedna ma \(b > 0\), druga \(n < 0\) (lub odwrotnie), więc \(b\cdot n < 0\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A.** Warunek \(b\cdot n > 0\) implikuje, że oba odcięcia mają ten sam znak - proste leżałyby po tej samej stronie osi \(Ox\).
- **C.** \(a\cdot m < 0\) oznacza różne znaki - nie mogą być równoległe.
- **D.** Wymaga różnych znaków współczynników kierunkowych - niemożliwe dla równoległych.

**Pamiętaj:** proste równoległe \(\Leftrightarrow\) równe współczynniki kierunkowe.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/23)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F23)

## Podobne zadania

- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/11) — Zadanie 11. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) narysowano trapez 𝐸𝐹𝐺𝐻. Wszystkie współrzędne wierzchołków 𝐸, 𝐹, 𝐺 i 𝐻 są liczbami całkowitymi. Dokończ zdanie
- [Zadanie 23](https://matura.lol/question/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23) — Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe \(k\) i \(l\) o równaniach \(y = ax + b\) oraz \(y = mx + n\). Początek układu współrzędnych leży między tymi

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_