# Matematyka — zadanie 24

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/24
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Wyrażenia algebraiczne

## Treść

Zadanie 24. (0-1)
Dane są dwie sumy algebraiczne
3
3
2
x
x
oraz
2
3
2
x
. Iloczyn tych sum jest równy
A.
5
9
4
x
x
B.
6
3
2
9
6
6
4
x
x
x
x
C.
5
3
2
9
6
6
4
x
x
x
x
D.
6
9
4
x
x
Dane są dwie sumy algebraiczne 3x^3-2x oraz -3x^2-2. Iloczyn tych sum jest równy A. -9x^5+4x; B. -9x^6+6x^3-6x^2+4x; C. -9x^5+6x^3-6x^2+4x; D. -9x^6+4x.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(-9x^5 + 4x\)

## Sposób 1 - Mnożenie wielomianów (każdy z każdym)

Mnożymy każdy składnik pierwszej sumy przez każdy składnik drugiej sumy (schemat FOIL dla wielomianów):

\[
(3x^3 - 2x) \cdot (-3x^2 - 2)
\]

**Krok 1** - mnożymy \(3x^3\) przez oba składniki:
\[3x^3 \cdot (-3x^2) = -9x^5\]
\[3x^3 \cdot (-2) = -6x^3\]

**Krok 2** - mnożymy \(-2x\) przez oba składniki:
\[(-2x) \cdot (-3x^2) = +6x^3\]
\[(-2x) \cdot (-2) = +4x\]

**Krok 3** - zbieramy wyrazy podobne:
\[
-9x^5 \underbrace{- 6x^3 + 6x^3}_{= \; 0} + 4x
\]

\[
\boxed{-9x^5 + 4x}
\]

Wyrazy \(-6x^3\) i \(+6x^3\) znoszą się wzajemnie - to jest kluczowa obserwacja w tym zadaniu!

## Sposób 2 - Wyłączenie wspólnego czynnika przed mnożeniem

Zauważamy, że obie sumy mają wspólne czynniki:
\[3x^3 - 2x = x(3x^2 - 2)\]
\[-3x^2 - 2 = -(3x^2 + 2)\]

Iloczyn przyjmuje postać:
\[x(3x^2 - 2) \cdot [-(3x^2 + 2)] = -x(3x^2 - 2)(3x^2 + 2)\]

Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), gdzie \(a = 3x^2\), \(b = 2\):
\[(3x^2 - 2)(3x^2 + 2) = (3x^2)^2 - 2^2 = 9x^4 - 4\]

Zatem:
\[-x \cdot (9x^4 - 4) = -9x^5 + 4x\]

Ten sposób jest szybszy - nie ma potrzeby mnożenia czterech par składników.

## Wzory z karty CKE

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na różnicę kwadratów:
\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\]
Użyliśmy go w Sposobie 2 do skróconego pomnożenia \((3x^2 - 2)(3x^2 + 2)\).

Poza tym zadanie opiera się na standardowym algorytmie mnożenia wielomianów - bez specjalnych wzorów z karty.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B | Potraktowanie \(x^3 \cdot x^2 = x^6\) zamiast \(x^5\) - błędne dodawanie wykładników (trzeba je DODAWAĆ, nie mnożyć) |
| C | Poprawne obliczenie wykładników, ale pominięcie uproszczenia \(-6x^3 + 6x^3 = 0\) - uczeń zostawia \(6x^3 - 6x^2\) (lub myli potęgi) |
| D | Dwa błędy naraz: zły wykładnik (\(x^6\) zamiast \(x^5\)) ORAZ pominięcie uproszczenia środkowych wyrazów |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc potęgi tej samej podstawy, **dodajemy** wykładniki: \(x^3 \cdot x^2 = x^{3+2} = x^5\), nie \(x^6\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.

> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze zbieraj wyrazy podobne po rozwinięciu - tu środkowe wyrazy \(-6x^3\) i \(+6x^3\) znikają. Pominięcie tego kroku prowadzi wprost do odpowiedzi C.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu \((-2x) \cdot (-2) = +4x\) - dwa minusy dają plus. Pomylenie znaku to kolejna częsta pułapka.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Rozwinięcie iloczynu
\[(3x^3 - 2x)(-3x^2 - 2).\]
Mnożymy każdy składnik pierwszego wielomianu przez każdy z drugiego:
- \(3x^3\cdot(-3x^2) = -9x^5\)
- \(3x^3\cdot(-2) = -6x^3\)
- \(-2x\cdot(-3x^2) = 6x^3\)
- \(-2x\cdot(-2) = 4x\)

Suma: \(-9x^5 - 6x^3 + 6x^3 + 4x = -9x^5 + 4x\).

### Sposób 2 - Obserwacja uproszczenia
Wyrazy \(-6x^3\) i \(+6x^3\) się skracają. Zostaje \(-9x^5 + 4x\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B, D.** Mają \(-9x^6\), co jest niemożliwe: \(3x^3\cdot(-3x^2) = -9x^{3+2} = -9x^5\), nie \(x^6\).
- **C.** Zachowało wyrazy, które się skracają (\(-6x^3 + 6x^3 = 0\)).

**Uwaga:** przy mnożeniu potęg **dodajemy** wykładniki: \(x^3\cdot x^2 = x^{3+2} = x^5\). Pamiętaj też o **redukcji wyrazów podobnych** na końcu.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/24)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F24)

## Podobne zadania

- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2021-marzec-probna-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Reszty z dzielenia wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 przez dwumiany (𝑥-2) i (𝑥-3) są odpowiednio równe (-8) oraz (-18). Oblicz resztę z dzielen
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (4 pkt) Reszta z dzielenia wielomianu  3 2 4 5 23 W x x x x m     przez dwumian 1 x  jest równa 20. Oblicz wartość współczynnika m oraz pierwi
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (4 pkt) Wielomian  4 3 2 24 9 W x x ax bx x      jest kwadratem wielomianu  2 P x x cx d    Oblicz a oraz b. Odpowiedź: Poziom rozszerzon
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (4 pkt) Przy dzieleniu wielomianu ( ) x W przez dwumian ( )1 x otrzymujemy iloraz ( ) 14 4 8 2 x x x Q oraz resztę ( ) 5 x R . Oblicz pierwiastki wie

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_