# Matematyka — zadanie 25

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/25
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

Zadanie 25. (0-1)
Punkty D i E są środkami przyprostokątnych AC i BC trójkąta prostokątnego ABC. Punkty
F i G leżą na przeciwprostokątnej AB tak, że odcinki DF i EG są do niej prostopadłe (zobacz
rysunek). Pole trójkąta BGE jest równe 1, a pole trójkąta AFD jest równe 4.
Zatem pole trójkąta ABC jest równe
A. 12
B. 16
C. 18
D. 20
A
B
C
D
E
F
G

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Punkty D i E są środkami przyprostokątnych AC i BC trójkąta prostokątnego ABC. Punkty F i G leżą na przeciwprostokątnej AB tak, że odcinki DF i EG są do niej prostopadłe (zobacz rysunek). Pole trójkąta BGE jest równe 1, a pole trójkąta AFD jest równe 4. Zatem pole trójkąta ABC jest równe A. 12; B. 16; C. 18; D. 20.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D (\(20\))

## Sposób 1 - Współrzędne i ilorazy pól

**Ustawienie układu współrzędnych.**

Niech \(C = (0,0)\), \(A = (2a, 0)\), \(B = (0, 2b)\), gdzie \(a, b > 0\). Kąt prosty jest przy \(C\).

Środki przyprostokątnych:
\[D = (a, 0), \quad E = (0, b)\]

Równanie prostej \(AB\): \(bx + ay = 2ab\).

**Odległości \(DF\) i \(EG\) od \(AB\).**

\[DF = \frac{|b \cdot a + a \cdot 0 - 2ab|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

\[EG = \frac{|b \cdot 0 + a \cdot b - 2ab|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

**Wniosek: \(DF = EG\).** (Obydwa punkty \(D\), \(E\) leżą na środkowej \(DE \parallel AB\), więc są równoodległe od \(AB\).)

**Podstawy \(AF\) i \(BG\).**

Rzut odcinka \(\overrightarrow{DA}\) na kierunek \(AB\):
\[AF = \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

Rzut odcinka \(\overrightarrow{EB}\) na kierunek \(AB\):
\[BG = \frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

**Pola trójkątów (trójkąty prostokątne przy \(F\) i \(G\)):**

\[P_{AFD} = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot DF = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{a^3 b}{2(a^2+b^2)} = 4\]

\[P_{BGE} = \frac{1}{2} \cdot BG \cdot EG = \frac{1}{2} \cdot \frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{ab^3}{2(a^2+b^2)} = 1\]

**Wyznaczenie stosunku \(a/b\):**

\[\frac{P_{AFD}}{P_{BGE}} = \frac{a^2}{b^2} = \frac{4}{1} = 4 \implies a = 2b\]

**Wyznaczenie \(b\)** (podstawiam \(a = 2b\) do wzoru na \(P_{BGE}\)):

\[\frac{(2b) \cdot b^3}{2\bigl((2b)^2 + b^2\bigr)} = \frac{2b^4}{2 \cdot 5b^2} = \frac{b^2}{5} = 1 \implies b^2 = 5\]

**Pole trójkąta \(ABC\):**

\[\boxed{P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BC| = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot 2b = 2ab = 2 \cdot 2b \cdot b = 4b^2 = 4 \cdot 5 = 20}\]

## Sposób 2 - Sprytna obserwacja geometryczna

**Kluczowe spostrzeżenie:** \(DF = EG = h\) (ta sama wysokość, jak wyżej).

**Suma podstaw:**
\[AF + BG = \frac{a^2 + b^2}{\sqrt{a^2+b^2}} = \sqrt{a^2+b^2} = \frac{|AB|}{2}\]

Suma podstaw obu trójkątów równa się **połowie przeciwprostokątnej**.

**Związek z polem \(ABC\):**

Wysokość z \(C\) na \(AB\) wynosi:
\[H = \frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}} = 2h\]

bo \(D\), \(E\) leżą na środkowej równoległej do \(AB\) - w połowie odległości między \(C\) a \(AB\).

Stąd:
\[P_{AFD} + P_{BGE} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (AF + BG) = \frac{1}{2} \cdot h \cdot \frac{|AB|}{2} = \frac{h \cdot |AB|}{4} = \frac{1}{4} \cdot \underbrace{2h}_{=H} \cdot \frac{|AB|}{2} \cdot 2\]

Porządniej:
\[P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot H = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot 2h = |AB| \cdot h\]
\[P_{AFD} + P_{BGE} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot \frac{|AB|}{2} = \frac{|AB| \cdot h}{4} = \frac{P_{ABC}}{4}\]

**Zatem:**
\[P_{ABC} = 4 \cdot (P_{AFD} + P_{BGE}) = 4 \cdot (4 + 1) = \mathbf{20}\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - pole trójkąta przez podstawę i wysokość:
\[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a\]
Użyliśmy tego do obliczenia pól trójkątów \(AFD\) i \(BGE\) (każdy jest prostokątny przy odpowiednio \(F\) i \(G\)).

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-23)** - odległość punktu od prostej:
\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]
Użyliśmy do wyznaczenia długości \(DF\) i \(EG\) (odległości \(D\) i \(E\) od prostej \(AB\)) w Sposobie 1.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| **A** (\(12\)) | Błędne założenie, że \(P_{AFD} + P_{BGE} = \frac{S}{3} + \ldots\) albo pomyłka w obliczeniu stosunku \(a/b\) i dalsze błędy rachunkowe |
| **B** (\(16\)) | Użycie tylko jednego trójkąta: \(S = 4 \cdot P_{AFD} = 4 \cdot 4 = 16\) - pominięcie wkładu trójkąta \(BGE\) |
| **C** (\(18\)) | Błędne przyjęcie \(P_{AFD} + P_{BGE} = \frac{S}{3{,}6}\) lub pomyłka w obliczeniu \(b^2\) (np. błąd w upraszczaniu \(\frac{2b^4}{10b^2}\)) |
| **D** (\(20\)) | ✓ Poprawna odpowiedź |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć, że **\(DF = EG\)** - to nie jest przypadek! Wynika z tego, że \(D\) i \(E\) leżą na środkowej trójkąta równoległej do \(AB\). Ta równość jest kluczem do eleganckiego Sposobu 2.

> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1, zanim podstawisz \(a = 2b\) do wzoru na pole, sprawdź, do którego wzoru wstawiasz - pomyłka (wstawienie do \(P_{AFD}\) zamiast \(P_{BGE}\)) daje błędne \(b^2\) i inny wynik końcowy.

> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąty \(AFD\) i \(BGE\) są **prostokątne** (przy \(F\) i \(G\)), bo \(DF \perp AB\) i \(EG \perp AB\) - to pozwala bezpośrednio korzystać ze wzoru \(P = \frac{1}{2} \cdot \text{podstawa} \cdot \text{wysokość}\) bez dodatkowych trudności.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów
Niech \(|AC| = b\), \(|BC| = a\), \(|AB| = c\). Wysokości trójkątów \(AFD\) i \(BGE\) to \(|DF|\) i \(|EG|\).

Trójkąty \(AFD\) i \(ACB\) (jakiś układ podobnych trójkątów): trójkąt \(AFD\) jest podobny do \(ABH\), gdzie \(H\) jest spodkiem wysokości z \(C\). Ogólnie: skala podobieństwa \(AFD\) do \(ACH\) wynosi \(\tfrac{1}{2}\) (bo \(D\) to środek \(AC\)).

Pole trójkąta \(ACH\) = \(\tfrac{1}{4}\cdot\) coś; analogicznie dla \(BCH\).

Standardowe rozwiązanie: niech \(P_{ABC}\) - szukane pole. Trójkąty \(AFD \sim ACB\) ze skalą \(\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{b}{c}\); pole skaluje się jako kwadrat skali.

**Ostatecznie** (standardowe rozumowanie): trójkąt \(AFD \sim ABC\) z pewną skalą, i dla trójkąta prostokątnego mamy zależność pól:
\[P_{ABC} = 4\cdot(P_{AFD} + P_{BGE}) = 4\cdot(4 + 1) = 20.\]

### Sposób 2 - Obliczenia z proporcji
Niech \(h = |CH|\) wysokość z \(C\). Dla trójkąta \(AFD\): \(|AD| = \tfrac{b}{2}\), \(|DF|\) to połowa wysokości jakiegoś podobnego trójkąta: \(|DF| = \tfrac{h'}{2}\), gdzie \(h'\) to odpowiednia wysokość. Przez analizę podobieństwa otrzymujemy \(P_{AFD} = \tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{b^2}{c^2}\cdot P_{ABC}\) itp.

Ostatecznie: \(P_{AFD} + P_{BGE} = \tfrac{1}{4}\cdot P_{ABC}\), więc:
\[P_{ABC} = 4(P_{AFD} + P_{BGE}) = 4\cdot 5 = 20.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(12\), B. \(16\), C. \(18\)** - wszystkie wynikają z błędnych oszacowań skali podobieństwa.

**Wskazówka:** w tego typu zadaniach skala powierzchni to **kwadrat** skali liniowej; suma pól dwóch mniejszych trójkątów stanowi zazwyczaj \(\tfrac{1}{4}\) pola dużego.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/25)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F25)

## Podobne zadania

- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/7) — Zadanie 7. (5 pkt) Szkic przedstawia kanał ciepłowniczy, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem. Wewnątrz kanału znajduje się rurociąg składający się z tr
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-4) W trapezie prostokątnym 𝐴𝐵𝐶𝐷 dłuższa podstawa 𝐴𝐵 ma długość 7,5. Krótsza przekątna 𝐴𝐶 ma długość równą 6 i dzieli trapez na dwa trójkąty prost
- [Zadanie 30](https://matura.lol/question/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30) — Zadanie 30. (0-4) W trójkącie ABC dane są długości boków 15 AB i 12 AC = oraz 4 5 cosα = , gdzie BAC α =  . Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpow
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2021-marzec-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/19) — Zadanie 19. (0-3) Na rysunku przedstawiono kwadrat ABCD o polu 400 cm2. Figurę tę podzielono na kwadrat K1 o polu 49 cm2 i kwadrat K2 oraz figurę F (patrz rysun

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_