# Matematyka — zadanie 26

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/26
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Rozwiąż równanie \(\frac{2x+1}{2x} = \frac{2x+1}{x+1}\), gdzie \(x \neq -1\) i \(x \neq 0\).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(x = -\dfrac{1}{2}\) lub \(x = 1\)

## Sposób 1 - wyłączenie wspólnego czynnika

Przenosimy wszystko na lewą stronę:

\[\frac{2x+1}{2x} - \frac{2x+1}{x+1} = 0\]

Wyłączamy \((2x+1)\) przed nawias:

\[(2x+1)\left(\frac{1}{2x} - \frac{1}{x+1}\right) = 0\]

Iloczyn jest równy zero, gdy **co najmniej jeden czynnik jest zerem**. Rozpatrujemy dwa przypadki:

**Przypadek 1:** \(2x + 1 = 0\)

\[2x = -1 \implies \boxed{x = -\frac{1}{2}}\]

Sprawdzamy warunki dziedziny: \(x \neq 0\) ✓, \(x \neq -1\) ✓

**Przypadek 2:** \(\dfrac{1}{2x} - \dfrac{1}{x+1} = 0\), czyli \(\dfrac{1}{2x} = \dfrac{1}{x+1}\)

Skoro mianowniki są równe (obie liczby niezerowe), muszą być równe:

\[x + 1 = 2x \implies \boxed{x = 1}\]

Sprawdzamy warunki dziedziny: \(x \neq 0\) ✓, \(x \neq -1\) ✓

**Rozwiązanie:** \(x = -\dfrac{1}{2}\) lub \(x = 1\)

## Sposób 2 - mnożenie przez mianowniki (cross-multiplication)

Ponieważ \(x \neq 0\) i \(x \neq -1\), mianowniki są niezerowe - możemy obustronnie pomnożyć przez \(2x(x+1)\):

\[(2x+1)(x+1) = (2x+1) \cdot 2x\]

Przenosimy na lewą stronę:

\[(2x+1)(x+1) - (2x+1)(2x) = 0\]

Wyłączamy \((2x+1)\):

\[(2x+1)\big[(x+1) - 2x\big] = 0\]

\[(2x+1)(1 - x) = 0\]

Stąd:
- \(2x + 1 = 0 \implies x = -\dfrac{1}{2}\)
- \(1 - x = 0 \implies x = 1\)

**Weryfikacja obu rozwiązań:**

Dla \(x = -\dfrac{1}{2}\):
\[\text{Lewa:} \quad \frac{0}{-1} = 0, \qquad \text{Prawa:} \quad \frac{0}{\frac{1}{2}} = 0 \quad \checkmark\]

Dla \(x = 1\):
\[\text{Lewa:} \quad \frac{3}{2}, \qquad \text{Prawa:} \quad \frac{3}{2} \quad \checkmark\]

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe operacje algebraiczne (wyłączanie przed nawias, iloczyn ilorazów).

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **dzielenie obu stron przez \((2x+1)\)**. Jeśli podzielisz przez wyrażenie, które może być zerem, **tracisz rozwiązanie** \(x = -\dfrac{1}{2}\)! Nigdy nie wolno dzielić przez wyrażenie zawierające niewiadomą bez sprawdzenia, czy jest różne od zera.

> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o sprawdzeniu warunków dziedziny (\(x \neq 0\), \(x \neq -1\)) po wyznaczeniu rozwiązań. Tu żadne nie odpada, ale na egzaminie może być inaczej.

> ⚠️ **Uwaga:** Wynik to **dwa rozwiązania** - wielu uczniów zatrzymuje się na jednym. Zawsze sprawdzaj, ile czynników daje zero w iloczynie.

**Poprawna odpowiedź:** \(x_1 = -\dfrac{1}{2}\), \(x_2 = 1\).

### Sposób 1 - Przekształcenie do równania kwadratowego (metoda CKE)
Przekształcamy równanie w postać równoważną:
\[\dfrac{2x+1}{2x} - \dfrac{2x+1}{x+1} = 0.\]
Sprowadzamy do wspólnego mianownika \(2x(x+1)\):
\[\dfrac{(2x+1)(x+1) - 2x(2x+1)}{2x(x+1)} = 0.\]
Licznik:
\[(2x+1)(x+1) - 2x(2x+1) = (2x+1)\bigl[(x+1) - 2x\bigr] = (2x+1)(1-x).\]
Zatem:
\[\dfrac{(2x+1)(1-x)}{2x(x+1)} = 0.\]

Ułamek równy zeru ⟺ licznik = 0:
\[(2x+1)(1-x) = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{2}\ \text{lub}\ x = 1.\]

Obie liczby różne od \(-1\) i \(0\), więc obie są rozwiązaniami.

### Sposób 2 - Własność proporcji
Z \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{c}\) (z \(a \ne 0\)) wynika \(b = c\) lub \(a = 0\).

Jeśli \(2x+1 = 0\), to \(x = -\tfrac{1}{2}\) - rozwiązanie.
Jeśli \(2x+1 \ne 0\), to \(2x = x+1\), czyli \(x = 1\) - drugie rozwiązanie.

Ostatecznie: \(x \in \left\{-\tfrac{1}{2}, 1\right\}\).

### Sposób 3 - Wymnażanie na krzyż
\((2x+1)(x+1) = (2x+1)(2x)\)
\((2x+1)(x+1) - (2x+1)(2x) = 0\)
\((2x+1)(x+1-2x) = 0\)
\((2x+1)(1-x) = 0\)
\(x = -\tfrac{1}{2}\) lub \(x = 1\).

### Uwagi o punktacji (CKE)
- **1 punkt**: za sprowadzenie do równania kwadratowego lub alternatywy \(2x+1 = 0\) lub \(\tfrac{1}{2x} = \tfrac{1}{x+1}\).
- **2 punkty**: za wyznaczenie obu rozwiązań \(x_1 = -\tfrac{1}{2}\), \(x_2 = 1\).
- **Pułapka**: jeśli zdający podzieli obie strony przez \(2x+1\) bez warunku \(2x+1 \ne 0\), może stracić pierwsze rozwiązanie.

**Trik:** gdy masz \(\tfrac{a}{b} = \tfrac{a}{c}\), pamiętaj o przypadku \(a = 0\)!

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/26)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F26)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr 
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-2) Rozwiąż nierówność 𝟑𝒙𝟐+ 𝟒𝒙≥𝟔𝒙+ 𝟖 Zapisz obliczenia. 10. 0-1-2 MMAP-P0_100 Rozwiąż nierówność 3x² + 4x ≥ 6x+8
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż równanie (27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych. EMAP-P0_100
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż nierówność 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 EMAP-P0_100

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_