# Matematyka — zadanie 27 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/27 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa) - rok: 2016 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 2 - działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, planimetria ## Treść Zadanie 27. (0-2) Dane są proste o równaniach 2 = x y oraz 3 y x b , które przecinają się w punkcie leżącym na osi Oy układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi Ox. Odpowiedź: MMA_1P Dane są proste o równaniach y=x+2 oraz y=-3x+b, które przecinają się w punkcie leżącym na osi Oy układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi Ox. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: C Pole trójkąta wynosi \(\frac{8}{3}\). ## Sposób 1 - Wyznaczenie punktów i wzór na pole trójkąta **Krok 1: Znajdź punkt przecięcia prostych - leży na osi \(Oy\), czyli \(x = 0\).** Podstawiamy \(x = 0\) do prostej \(y = x + 2\): \[y = 0 + 2 = 2\] Punkt przecięcia obu prostych to \(C = (0, 2)\). **Krok 2: Wyznacz \(b\) - prosta \(y = -3x + b\) też musi przechodzić przez \(C(0, 2)\).** \[2 = -3 \cdot 0 + b \implies b = 2\] Zatem druga prosta to \(y = -3x + 2\). **Krok 3: Znajdź miejsca przecięcia prostych z osią \(Ox\) (czyli \(y = 0\)).** Prosta \(y = x + 2\): \[0 = x + 2 \implies x = -2 \quad \text{→ punkt } A = (-2,\ 0)\] Prosta \(y = -3x + 2\): \[0 = -3x + 2 \implies x = \frac{2}{3} \quad \text{→ punkt } B = \left(\frac{2}{3},\ 0\right)\] **Krok 4: Oblicz pole trójkąta \(ABC\).** Trójkąt ma: - podstawę \(|AB|\) leżącą na osi \(Ox\) - wysokość = rzędna punktu \(C\) = \(2\) \[|AB| = \frac{2}{3} - (-2) = \frac{2}{3} + \frac{6}{3} = \frac{8}{3}\] \[P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} \cdot 2 = \boxed{\frac{8}{3}}\] ## Sposób 2 - Wzór na pole trójkąta ze współrzędnych Mamy wierzchołki: \(A = (-2, 0)\), \(B = \left(\frac{2}{3}, 0\right)\), \(C = (0, 2)\). Korzystamy ze wzoru: \[P = \frac{1}{2} \left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\right|\] Podstawiamy: \[P = \frac{1}{2} \left|\left(\frac{2}{3} - (-2)\right)(2 - 0) - (0 - 0)(0 - (-2))\right|\] \[P = \frac{1}{2} \left|\frac{8}{3} \cdot 2 - 0\right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{3} = \frac{8}{3}\] Wynik zgodny z Metodą 1. ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** Pole trójkąta ze współrzędnych wierzchołków (Sposób 2): \[P = \frac{1}{2}\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\right|\] Równanie prostej: \(y = ax + b\) - użyliśmy do wyznaczenia przecięć z osiami (Dział 11, s. 22). W tym zadaniu nie ma potrzeby korzystania z bardziej zaawansowanych wzorów - wystarczy odczytanie przecięć prostych z osiami układu. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | A | Policzono tylko połowę podstawy - wzięto \(|AB| = \frac{2}{3}\) (tylko odcinek od \(O\) do \(B\)), co daje \(P = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}\) | | B | Wzięto \(|AB| = 2\) (tylko odcinek \(OA\)), więc \(P = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\) - pominięto punkt \(B\) | | D | Pominięto szukanie \(b\) i założono np. \(b = 0\), co przesuwa całą figurę | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że „prosta przecina oś \(Oy\)" oznacza \(x = 0\), a „przecina oś \(Ox\)" to \(y = 0\). Łatwo je pomylić! > ⚠️ **Uwaga:** Podstawa trójkąta to **cały odcinek** \(AB\) od \(x = -2\) do \(x = \frac{2}{3}\). Jej długość to \(\frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3}\), nie \(\frac{2}{3} - 2\) (znak!). > ⚠️ **Uwaga:** Najpierw znajdź \(b\)! Wartość \(b = 2\) wynika z warunku, że obie proste przechodzą przez ten sam punkt na osi \(Oy\). Bez tego kroku nie możemy narysować poprawnego trójkąta. **Poprawna odpowiedź:** pole trójkąta = \(\dfrac{8}{3}\). ### Sposób 1 - Wyznaczenie \(b\) i miejsc zerowych (metoda CKE) Prosta \(y = x + 2\) przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0, 2)\). Skoro proste przecinają się na osi \(Oy\), druga prosta \(y = -3x + b\) też musi przecinać oś \(Oy\) w \((0, 2)\), więc \(b = 2\). Druga prosta: \(y = -3x + 2\). Trójkąt ma wierzchołki: - \(C = (0, 2)\) - punkt przecięcia obu prostych i osi \(Oy\) - \(A\) = miejsce zerowe \(y = x+2\): \(x = -2\), więc \(A = (-2, 0)\) - \(B\) = miejsce zerowe \(y = -3x+2\): \(x = \tfrac{2}{3}\), więc \(B = \left(\tfrac{2}{3}, 0\right)\) Podstawa \(|AB| = \tfrac{2}{3} - (-2) = \tfrac{8}{3}\). Wysokość (od \(C\) do osi \(Ox\)) = \(2\). \[P = \dfrac{1}{2}\cdot|AB|\cdot h = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{8}{3}\cdot 2 = \dfrac{8}{3}.\] ### Sposób 2 - Wzór na pole trójkąta w układzie współrzędnych \(P = \dfrac{1}{2}\bigl|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)\bigr|\): \[P = \dfrac{1}{2}\left|-2(0-2) + \dfrac{2}{3}(2-0) + 0(0-0)\right| = \dfrac{1}{2}\left|4 + \dfrac{4}{3}\right| = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{16}{3} = \dfrac{8}{3}.\] ### Uwagi o punktacji (CKE) - **1 punkt**: za ustalenie \(b = 2\) lub prawidłowe narysowanie prostych i zaznaczenie \((0, 2)\). - **2 punkty**: za obliczenie pola \(\tfrac{8}{3}\). **Trik:** gdy proste przecinają się na osi \(Oy\), to mają ten sam wyraz wolny! ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/27) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F27) ## Podobne zadania - [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Punkty , , i są wierzchołkami czworokąta ABCD. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta. ( ) 1, 1 A = ( ) 6,1 B = ( ) - [Zadanie 30](https://matura.lol/question/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/30) — Zadanie 30. (0-2) W układzie współrzędnych są dane punkty ( ) 43, 12 A = - , ( ) 50,19 B = . Prosta AB przecina oś Ox w punkcie P . Oblicz pierwszą współrzędną - [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21) — Zadanie 21. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= -1 3 𝑥+ 2. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi przez punkt (2, - [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-1) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= -1 3 𝑥+ 2. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi p _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_