# Matematyka — zadanie 28

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/28
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Zadanie 28. (0-2)
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność
(
)
3
3
2
2
4
4
2
y
x
y
x
y
x
≥

MMA_1P
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x^4 + y^4 + x^2 + y^2 ≥ 2(x^3 + y^3).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: dowód (zadanie otwarte)

**Teza:** Dla dowolnych \(x, y \in \mathbb{R}\) zachodzi \(x^4 + y^4 + x^2 + y^2 \geq 2(x^3 + y^3)\).

## Sposób 1 - Przekształcenie algebraiczne i faktoryzacja

**Przenosimy wszystko na lewą stronę:**

\[x^4 + y^4 + x^2 + y^2 - 2x^3 - 2y^3 \geq 0\]

**Grupujemy wyrazy z \(x\) osobno i \(y\) osobno:**

\[\underbrace{(x^4 - 2x^3 + x^2)}_{\text{człon z } x} + \underbrace{(y^4 - 2y^3 + y^2)}_{\text{człon z } y} \geq 0\]

**Wyciągamy \(x^2\) przed nawias w pierwszym członie:**

\[x^4 - 2x^3 + x^2 = x^2(x^2 - 2x + 1) = x^2(x-1)^2\]

**Analogicznie dla drugiego członu:**

\[y^4 - 2y^3 + y^2 = y^2(y^2 - 2y + 1) = y^2(y-1)^2\]

**Nierówność przyjmuje postać:**

\[\boxed{x^2(x-1)^2 + y^2(y-1)^2 \geq 0}\]

**Uzasadnienie końcowe:**

Wyrażenie \(x^2(x-1)^2 = [x(x-1)]^2\) jest kwadratem pewnej liczby rzeczywistej - zatem **nieujemne** dla każdego \(x \in \mathbb{R}\). Analogicznie \(y^2(y-1)^2 \geq 0\). Suma dwóch liczb nieujemnych jest nieujemna.

Zatem \(x^4 + y^4 + x^2 + y^2 - 2(x^3 + y^3) \geq 0\), co kończy dowód. \(\square\)

**Kiedy zachodzi równość?** Gdy oba składniki są równe \(0\), czyli \(x(x-1) = 0\) i \(y(y-1) = 0\), tzn. \(x \in \{0, 1\}\) i \(y \in \{0, 1\}\).

## Sposób 2 - Nierówność AM-GM osobno dla \(x\) i \(y\)

**Cel:** wykazać osobno, że \(x^4 + x^2 \geq 2x^3\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\), i analogicznie dla \(y\).

**Krok 1 - Nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną** (AM-GM):

Dla dowolnych \(a, b \geq 0\) zachodzi \(\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\), czyli \(a + b \geq 2\sqrt{ab}\).

Stosujemy do \(a = x^4\), \(b = x^2\) (oba nieujemne):

\[x^4 + x^2 \geq 2\sqrt{x^4 \cdot x^2} = 2\sqrt{x^6} = 2|x|^3\]

**Krok 2 - Szacowanie \(|x|^3 \geq x^3\):**

Z definicji wartości bezwzględnej: \(|x^3| \geq x^3\), a \(|x^3| = |x|^3\). Zatem:

\[x^4 + x^2 \geq 2|x|^3 \geq 2x^3\]

**Krok 3 - Analogicznie dla \(y\):**

\[y^4 + y^2 \geq 2y^3\]

**Krok 4 - Dodajemy obie nierówności stronami** (znak \(\geq\) zachowany przy dodawaniu):

\[x^4 + x^2 + y^4 + y^2 \geq 2x^3 + 2y^3 = 2(x^3 + y^3)\]

Co kończy dowód. \(\square\)

## Wzory z karty CKE

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na kwadrat różnicy:
\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 do rozpoznania, że \(x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2\).

**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - własność \(|x| \geq x\) (wynikająca z definicji \(|x|\)):
Użyta w Sposobie 2 przy oszacowaniu \(2|x|^3 \geq 2x^3\).

> **Uwaga:** Nierówność AM-GM (\(a + b \geq 2\sqrt{ab}\)) nie jest wprost wymieniona na karcie wzorów, ale wynika z podstawowych własności nierówności - maturzysta powinien ją znać lub wyprowadzić z \((\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0\).

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj dzielić nierówności przez \(x\) lub \(y\) - mogą być ujemne lub zerowe, co odwróciłoby znak!

> ⚠️ **Uwaga:** Przy AM-GM konieczne jest sprawdzenie, że obie liczby są **nieujemne** (\(x^4 \geq 0\), \(x^2 \geq 0\) - to prawda dla każdego \(x\)). Bez tego nie można stosować nierówności.

> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniach na dowód "dla dowolnych liczb rzeczywistych" zawsze szukaj sprowadzenia do postaci **suma kwadratów ≥ 0** - to najczęstszy i najelegantszy schemat na maturze. Jeśli widzisz potęgi parzyste, myśl: "czy uda się przepisać jako \(( )^2\)?"

**Poprawna odpowiedź:** dowód poniżej.

### Sposób 1 - Zgrupowanie w sumę kwadratów (metoda CKE I)
Zapisujemy nierówność w postaci równoważnej:
\[x^4 + y^4 + x^2 + y^2 \ge 2x^3 + 2y^3,\]
\[x^4 - 2x^3 + x^2 + y^4 - 2y^3 + y^2 \ge 0,\]
\[(x^2 - x)^2 + (y^2 - y)^2 \ge 0.\]

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny: \((x^2 - x)^2 \ge 0\) i \((y^2 - y)^2 \ge 0\). Suma dwóch liczb nieujemnych jest nieujemna, więc nierówność jest prawdziwa dla dowolnych \(x, y\). ∎

### Sposób 2 - Zgrupowanie alternatywne (metoda CKE II)
\[x^4 + y^4 + x^2 + y^2 - 2x^3 - 2y^3 \ge 0,\]
\[x^2(x^2 - 2x + 1) + y^2(y^2 - 2y + 1) \ge 0,\]
\[x^2(x-1)^2 + y^2(y-1)^2 \ge 0.\]

Każdy czynnik: \(x^2 \ge 0\), \((x-1)^2 \ge 0\), a ich iloczyn jest nieujemny. Analogicznie dla \(y\). Suma dwóch liczb nieujemnych \(\ge 0\). ∎

### Dodatkowa obserwacja
Równość zachodzi, gdy \(x^2 = x\) i \(y^2 = y\), czyli \(x, y \in \{0, 1\}\).

### Uwagi o punktacji (CKE)
- **1 punkt**: za zapisanie w postaci \((x^2-x)^2 + (y^2-y)^2 \ge 0\) lub \(x^2(x-1)^2 + y^2(y-1)^2 \ge 0\), nawet jeśli uzasadnienie niepełne.
- **2 punkty**: za zapisanie jako sumy nieujemnych składników i sformułowanie wniosku.

**Trik:** podstawową techniką dowodów nierówności jest "wszystko na jedną stronę" i rozkład na **sumę kwadratów**.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/28)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F28)

## Podobne zadania

- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (0-4) Wykaż, że dla , , , 0 a b c d > prawdziwa jest nierówność a b c d ac bd ⋅ ≥ MMA_1R Wykaż, że dla a,b,c,d > 0 prawdziwa jest nierówność √(a+b)⋅√
- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/3) — Zadanie 3. (0-3) Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝒙 i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝒚 prawdziwa jest nierówność 𝟏 𝒙+ 𝟏 𝒚 ≤ 𝒙 𝒚𝟐+ 𝒚 
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-3) Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej 𝒂 i każdej liczby dodatniej 𝒃 takich, że 𝒂+ 𝒃= 𝟏, prawdziwa jest nierówność 𝟏 𝟐𝒂+ 𝒃+ 𝟏 𝒂+ 𝟐𝒃≥𝟒 𝟑 MMAP-R0_
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (0-3) Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej 𝑎 i każdej liczby dodatniej 𝑏 takich, że 𝑎+ 𝑏= 1, prawdziwa jest nierówność 1 2𝑎+ 𝑏+ 1 𝑎+ 2𝑏≥4 3 EMAP-R0_

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_