# Matematyka — zadanie 29 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/29 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa) - rok: 2016 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 2 - działy: Planimetria ## Treść Zadanie 29. (0-2) Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD. Dwusieczna kąta ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną kąta BCD w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że w czworokącie CDEF sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe. A B C D E F MMA_1P Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD. Dwusieczna ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną kąta BCD w punkcie F (zobacz rysunek). ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: Dowód (zadanie otwarte) Należy wykazać, że obie sumy miar par kątów przeciwległych czworokąta \(CDEF\) są sobie równe - czyli obie wynoszą \(180°\) (co jest równoważne temu, że \(CDEF\) jest czworokątem wpisanym w okrąg). ## Sposób 1 - Analiza kątów przez dwusieczne **Oznaczenie:** Niech \(\angle ABC = 2\beta\). Ponieważ trapez prostokątny ma kąty proste przy \(A\) i \(D\) (gdyż \(AD \perp AB\) i \(AD \perp CD\)): \[\angle DAB = \angle ADC = 90°\] Kąty \(\angle ABC\) i \(\angle BCD\) są kątami przyległymi przy ramionach między równoległymi podstawami \(AB \parallel CD\), więc: \[\angle ABC + \angle BCD = 180°\] Zatem: \[\angle BCD = 180° - 2\beta\] **Krok 1: Wyznaczam \(\angle CDE\).** Punkt \(E\) leży na odcinku \(AD\) (wewnątrz trapezu). Ponieważ \(\angle ADC = 90°\), promień \(DE\) pokrywa się z kierunkiem \(DA\), a promień \(DC\) jest prostopadły do \(DA\). Zatem: \[\boxed{\angle CDE = 90°}\] **Krok 2: Wyznaczam \(\angle EFC\).** Dwusieczna kąta \(ABC\) tworzy kąt \(\beta\) z \(BA\) i \(\beta\) z \(BC\) (z definicji dwusiecznej): \[\angle FBC = \beta\] Dwusieczna kąta \(BCD\) tworzy kąt \(\frac{180° - 2\beta}{2} = 90° - \beta\) z \(CB\) i z \(CD\): \[\angle FCB = 90° - \beta\] W trójkącie \(BCF\) suma kątów wynosi \(180°\): \[\angle BFC = 180° - \angle FBC - \angle FCB = 180° - \beta - (90° - \beta) = 90°\] Teraz kluczowa obserwacja: punkty \(B\), \(F\), \(E\) są **współliniowe** - wszystkie leżą na dwusiecznej kąta \(ABC\) (F jako przecięcie dwóch dwusiecznych, E jako przecięcie tej samej dwusiecznej z \(AD\)). Kąty \(\angle BFC\) i \(\angle EFC\) są suplementarne (leżą po obu stronach prostej \(BFE\)): \[\angle EFC = 180° - \angle BFC = 180° - 90° = 90°\] \[\boxed{\angle EFC = 90°}\] **Krok 3: Wniosek.** Suma kątów przeciwległych \(\angle CDE\) i \(\angle EFC\): \[\angle CDE + \angle EFC = 90° + 90° = 180°\] Ponieważ suma wszystkich kątów czworokąta \(CDEF\) wynosi \(360°\): \[\angle DCF + \angle DEF = 360° - 180° = 180°\] Obie sumy miar kątów przeciwległych czworokąta \(CDEF\) są równe \(180°\), a więc są sobie równe. \(\blacksquare\) ## Sposób 2 - Weryfikacja współrzędnościowa (przykład liczbowy) Przyjmijmy konkretne wartości: \(A = (0, 0)\), \(B = (4, 0)\), \(D = (0, 3)\), \(C = (2, 3)\). Wyznaczam \(\angle ABC\): kierunek \(\overrightarrow{BA} = (-4, 0)\), kierunek \(\overrightarrow{BC} = (-2, 3)\). \[\operatorname{tg}(\angle ABC) = \frac{3}{2}, \quad \text{czyli } 2\beta \approx 56{,}3°, \quad \beta \approx 28{,}15°\] **Punkt E** - przecięcie dwusiecznej \(\angle ABC\) z \(AD\) (osi \(y\)): Dwusieczna kąta \(ABC\) biegnie w kierunku sumy jednostkowych wektorów ramion: \[\hat{u}_{BA} = (-1, 0), \quad \hat{u}_{BC} = \frac{(-2, 3)}{\sqrt{13}}\] Kierunek dwusiecznej od \(B = (4, 0)\): \[(-1, 0) + \left(\frac{-2}{\sqrt{13}}, \frac{3}{\sqrt{13}}\right) \approx (-1{,}555, 0{,}832)\] Prosta: \(x = 4 - 1{,}555t\), \(y = 0{,}832t\). Gdy \(x = 0\): \(t \approx 2{,}572\), \(y_E \approx 2{,}14\). \[E \approx (0,\ 2{,}14)\] **Punkt F** - dwusieczna \(\angle BCD\) z \(C = (2, 3)\): kierunek \(\overrightarrow{CB} = (2, -3)\), \(\overrightarrow{CD} = (-2, 0)\). Kierunek dwusiecznej od \(C\): \(\hat{u}_{CB} + \hat{u}_{CD} = \left(\frac{2}{\sqrt{13}}-1,\ \frac{-3}{\sqrt{13}}\right) \approx (-0{,}445,\ -0{,}832)\). Obliczam przecięcie obu prostych: \(F \approx (1{,}52,\ 1{,}33)\). Weryfikuję kąty w czworokącie \(CDEF\) ze współrzędnych: \[\angle CDE = 90°\ ✓, \qquad \angle EFC \approx 90°\ ✓\] Potwierdzenie: obie sumy kątów przeciwległych wynoszą \(180°\). \(\blacksquare\) ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - suma kątów w trójkącie: \[\alpha + \beta + \gamma = 180°\] Użyte w Kroku 2: aby wyznaczyć \(\angle BFC\) z dwóch pozostałych kątów trójkąta \(BCF\). **Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - własność kątów przy dwóch równoległych: \[\text{kąty przyległe: } \angle ABC + \angle BCD = 180°\] Użyte do wyznaczenia \(\angle BCD = 180° - 2\beta\). ## Typowe pułapki i uwaga > ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie uzasadnienia współliniowości \(B\), \(F\), \(E\). Trzeba jawnie napisać, że obydwa punkty (\(F\) i \(E\)) leżą na tej samej dwusiecznej kąta \(ABC\), wychodzącej z \(B\). > ⚠️ **Uwaga:** Kąty \(\angle BFC\) i \(\angle EFC\) są suplementarne tylko dlatego, że \(B{-}F{-}E\) są współliniowe - nie wolno tego założyć bez uzasadnienia, trzeba to wywnioskować z definicji punktów \(E\) i \(F\). > ⚠️ **Uwaga:** Wystarczy pokazać, że **jedna** para kątów przeciwległych sumuje się do \(180°\) - automatycznie z sumy \(360°\) wynika, że druga para też sumuje się do \(180°\). **Poprawna odpowiedź:** dowód poniżej. ### Sposób 1 - Przez sumę kątów w trójkącie (metoda CKE I) Oznaczmy \(\angle ABC = 2\alpha\) i \(\angle BCD = 2\beta\). Kąty przy ramieniu \(BC\) trapezu mają sumę \(180^\circ\) (bo \(AB \parallel CD\)): \[2\alpha + 2\beta = 180^\circ \Rightarrow \alpha + \beta = 90^\circ.\] Dwusieczne dzielą te kąty na połowy, więc w trójkącie \(BFC\) kąty przy \(B\) i \(C\) wynoszą \(\alpha\) i \(\beta\). Zatem: \[\angle BFC = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ.\] Kąt \(\angle CFE = 180^\circ - \angle BFC = 90^\circ\) (kąty przyległe). Kąt \(\angle CDE = 90^\circ\), bo trapez jest prostokątny (\(\angle ADC\) prosty). Suma kątów przeciwległych w \(CDEF\): \[\angle CDE + \angle CFE = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ.\] Suma wszystkich kątów w czworokącie = \(360^\circ\), więc suma drugiej pary przeciwległych: \[\angle DCF + \angle DEF = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ.\] Zatem obie sumy przeciwległych kątów są równe \(180^\circ\), czyli sobie równe. ∎ ### Sposób 2 - Kąt zewnętrzny trójkąta (metoda CKE III) Półproste \(BF\) i \(CF\) to dwusieczne kątów \(ABC\) i \(BCD\). Oznaczamy te kąty jako \(2\alpha\) i \(2\beta\), więc połówki \(\alpha\) i \(\beta\) tworzą kąt przy \(F\). Trójkąt \(ABE\): prostokątny przy \(A\), więc \(\angle BEA = 90^\circ - \alpha\). Stąd \(\angle DEF = 180^\circ - \angle BEA = 90^\circ + \alpha\). Kąt \(\angle CFE = \alpha + \beta\) (kąt zewnętrzny trójkąta \(BFC\)). Suma przeciwległych w \(CDEF\): \[\angle DEF + \angle DCF = (90^\circ + \alpha) + \beta = 90^\circ + \alpha + \beta.\] \[\angle CDE + \angle CFE = 90^\circ + (\alpha + \beta) = 90^\circ + \alpha + \beta.\] Obie sumy są równe. ∎ ### Uwagi o punktacji (CKE) - **1 punkt**: za wyznaczenie miary \(\angle BFC = 90^\circ\). - **2 punkty**: za pełny dowód równości sum kątów przeciwległych. **Trik:** w trapezie kąty przy tym samym ramieniu sumują się do \(180^\circ\); połowy tych kątów sumują się do \(90^\circ\). ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/29) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F29) ## Podobne zadania - [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-3) Dwusieczne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: P, Q, R, S (zobacz rysunek). Wykaż, że na czworokącie - [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-podstawowa/zad/29) — Bok AB jest średnicą, a punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC . Punkt D leży na tym okręgu, a odcinek SD zawarty jest w symetralnej boku BC tr - [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (0-2) Dany jest prostokąt ABCD. Na boku CD tego prostokąta wybrano taki punkt E, że DE EC 2 , a na boku AB wybrano taki punkt F, że BF DE . Niech P - [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (0-2) Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD. Dwusieczna kąta ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną ką _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_