# Matematyka — zadanie 3

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/3
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Liczby rzeczywiste, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 1. (0-1)
Liczba
6
7
6
7
6
42
⋅
jest równa
A.
36
42
B.
7
42
C. 6
D. 1
Liczba 7^6 ⋅ 6^7 / 42^6 jest równa A. 42^36, B. 42^7, C. 6, D. 1

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D - \(\sqrt{3}\)

## Sposób 1 - Zamiana na potęgi ułamkowe

Zamieniamy wszystko na potęgi z wykładnikami ułamkowymi, żeby łatwo mnożyć wykładniki.

**Krok 1:** Rozbijamy wyrażenie od środka.
\[\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}\]
\[3\sqrt{3} = 3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}\]

**Krok 2:** Teraz bierzemy pierwiastek sześcienny z całości.
\[\sqrt[3]{3\sqrt{3}} = \sqrt[3]{3^{\frac{3}{2}}} = \left(3^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{2}}\]

**Krok 3:** Zamieniamy z powrotem na pierwiastek.
\[3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\]

**Odpowiedź: \(\sqrt{3}\)**

## Sposób 2 - Weryfikacja przez podniesienie do potęgi

Sprawdzamy, czy \(\left(\sqrt{3}\right)^3 = 3\sqrt{3}\).

\[\left(\sqrt{3}\right)^3 = \left(\sqrt{3}\right)^2 \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\]

Tak! Czyli \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}} = \sqrt{3}\), bo sześcian \(\sqrt{3}\) daje właśnie \(3\sqrt{3}\). ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**

Wzór \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\) - użyliśmy go do zamiany pierwiastków na potęgi ułamkowe.

Wzór \((a^r)^s = a^{r \cdot s}\) - użyliśmy w kroku 2, mnożąc wykładniki \(\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2}\).

Wzór \(a^r \cdot a^s = a^{r+s}\) - użyliśmy przy łączeniu \(3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A \(\sqrt[6]{3}\) | Uczeń liczy \(\sqrt[3]{\sqrt{3}} = (3^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{6}}\), zapominając o czyniku \(3\) przed \(\sqrt{3}\) |
| B \(\sqrt[4]{3}\) | Błędne dodawanie wykładników - np. mylenie \(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}\) z \(\frac{1}{4}\) przez niedokładne liczenie |
| C \(\sqrt[3]{3}\) | Uczeń "wyjął" \(\sqrt[3]{3}\) przed nawias, pomijając \(\sqrt{3}\) wewnątrz, lub zgubił jeden z wykładników |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Przy dodawaniu wykładników \(1 + \frac{1}{2}\) wielu uczniów błędnie zapisuje \(\frac{1}{2}\) zamiast \(\frac{3}{2}\). Zawsze sprowadzaj do wspólnego mianownika: \(1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\).

> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno "wyciągać" pierwiastka sześciennego bezpośrednio z \(3\sqrt{3}\) bez wcześniejszego uproszczenia. Najpierw zamień na jedną potęgę \(3^{\frac{3}{2}}\), a dopiero potem działaj z zewnętrznym pierwiastkiem.

> ⚠️ **Uwaga:** Mnożenie wykładników \(\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}\) - pamiętaj, że \(\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\), a nie \(\frac{1}{6}\) ani \(\frac{1}{3}\).

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Przez potęgi wymierne
Zapisujemy pierwiastki jako potęgi:
\[3\sqrt{3} = 3\cdot 3^{1/2} = 3^{3/2}.\]
Stąd:
\[\sqrt[3]{3\sqrt{3}} = \sqrt[3]{3^{3/2}} = (3^{3/2})^{1/3} = 3^{(3/2)\cdot(1/3)} = 3^{1/2} = \sqrt{3}.\]

### Sposób 2 - Podnoszenie do sześcianu
Niech \(x = \sqrt[3]{3\sqrt{3}}\). Wtedy \(x^3 = 3\sqrt{3}\). Sprawdzamy \(x = \sqrt{3}\):
\[(\sqrt{3})^3 = (\sqrt{3})^2\cdot\sqrt{3} = 3\sqrt{3}.\ \checkmark\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(\sqrt[6]{3}\)** = \(3^{1/6}\) - za mała wartość; \((3^{1/6})^3 = 3^{1/2} \ne 3\sqrt{3}\).
- **B. \(\sqrt[4]{3}\)** = \(3^{1/4}\) - też za mała.
- **C. \(\sqrt[3]{3}\)** = \(3^{1/3}\) - \((3^{1/3})^3 = 3 \ne 3\sqrt{3}\).

**Trik:** przy zagnieżdżonych pierwiastkach zawsze zamieniaj na potęgi wymierne i mnóż wykładniki.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/3)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F3)

## Podobne zadania

- [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/21) — Zadanie 21. (0-3) Pani Maria w 2015 roku łącznie zarobiła 43 740 zł. W każdym miesiącu od stycznia do września włącznie otrzymywała pensję tej samej wysokości. 
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (3 pkt) Niech 4 log7 a Wyznacz 49 log 2 w zależności od a. Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 3
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b określamy liczby aDb i a∗b w następujący sposób: aDb = liczba nie mniejsza spośród liczb a i b, a∗b =
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/2) — Zadanie 2. (0-2) Pensja pana X jest o 50% wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o 40% niższa od średniej krajowej. Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_