# Matematyka — zadanie 30

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/30
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Planimetria

## Treść

Zadanie 30. (0-4)
W trójkącie ABC dane są długości boków
15
AB
i
12
AC =
oraz
4
5
cosα =
, gdzie
BAC
α = 
. Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpowiednio D i E takie, że
2
BD
AD
i
2
AE
CE
(zobacz rysunek).
Oblicz pole
a) trójkąta ADE.
b) czworokąta BCED.
A
D
B
C
α
E

MMA_1P
Odpowiedź:

MMA_1P
W trójkącie ABC dane są długości boków |AB|=15 i |AC|=12 oraz cosα = 4/5, gdzie α = ∠BAC. Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpowiednio D i E takie, że |BD|=2|AD| i |AE|=2|CE| (zobacz rysunek).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź:

**a)** Pole trójkąta \(ADE = 12\)

**b)** Pole czworokąta \(BCED = 42\)

## Sposób 1 - wzór na pole z dwóch boków i kątem między nimi

**Krok 1: Wyznacz długości \(|AD|\) i \(|AE|\)**

Z waruniku \(|BD| = 2|AD|\) i \(|AB| = 15\):
\[|AD| + |BD| = 15 \implies |AD| + 2|AD| = 15 \implies 3|AD| = 15 \implies |AD| = 5\]

Z warunku \(|AE| = 2|CE|\) i \(|AC| = 12\):
\[|AE| + |CE| = 12 \implies 2|CE| + |CE| = 12 \implies 3|CE| = 12 \implies |CE| = 4 \implies |AE| = 8\]

**Krok 2: Wyznacz \(\sin\alpha\)**

Wiemy, że \(\cos\alpha = \frac{4}{5}\). Z jedynki trygonometrycznej:
\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \implies \sin^2\alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \implies \sin\alpha = \frac{3}{5}\]

(dodatnie, bo \(\alpha\) to kąt w trójkącie)

**Krok 3a: Pole trójkąta \(ADE\)**

Trójkąt \(ADE\) ma dwa boki \(|AD| = 5\) i \(|AE| = 8\) zawierające kąt \(\alpha\):
\[P_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot |AD| \cdot |AE| \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{2} \cdot 24 = \boxed{12}\]

**Krok 3b: Pole czworokąta \(BCED\)**

Najpierw pole całego trójkąta \(ABC\):
\[P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 12 \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot 108 = 54\]

Czworokąt \(BCED\) to trójkąt \(ABC\) **pomniejszony** o trójkąt \(ADE\):
\[P_{BCED} = P_{ABC} - P_{ADE} = 54 - 12 = \boxed{42}\]

## Sposób 2 - proporcja pól (metoda bez liczenia \(P_{ABC}\) wprost)

Zauważamy, że trójkąt \(ADE\) i trójkąt \(ABC\) mają **ten sam kąt \(\alpha\)** przy wierzchołku \(A\). Dlatego:
\[\frac{P_{ADE}}{P_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot |AD| \cdot |AE| \cdot \sin\alpha}{\frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin\alpha} = \frac{|AD| \cdot |AE|}{|AB| \cdot |AC|} = \frac{5 \cdot 8}{15 \cdot 12} = \frac{40}{180} = \frac{2}{9}\]

Stąd:
\[P_{ADE} = \frac{2}{9} \cdot P_{ABC} = \frac{2}{9} \cdot 54 = 12\]

I bezpośrednio:
\[P_{BCED} = P_{ABC} \cdot \left(1 - \frac{2}{9}\right) = 54 \cdot \frac{7}{9} = 42\]

**Wniosek:** Proporcja \(\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\) i \(\frac{|AE|}{|AC|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\), więc iloczyn daje \(\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}\) - tyle wynosi stosunek pól.

## Wzory z karty CKE

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:
\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\]
Użyta do wyznaczenia \(\sin\alpha\) z danego \(\cos\alpha = \frac{4}{5}\).

**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi:
\[P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\]
Użyta dwukrotnie: do obliczenia \(P_{ADE}\) oraz \(P_{ABC}\).

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \(|BD| = 2|AD|\) NIE oznacza, że \(D\) leży w \(\frac{2}{3}\) długości \(AB\) od \(A\) - D leży w \(\frac{1}{3}\) długości od \(A\), bo \(|AD| = 5\), nie \(10\). Pomieszanie tej relacji daje \(|AD| = 10\) i błędne pole.

> ⚠️ **Uwaga:** Analogicznie przy \(|AE| = 2|CE|\) - punkt \(E\) leży bliżej \(A\) (nie bliżej \(C\)), więc \(|AE| = 8\), \(|CE| = 4\). Odwrócenie daje \(|AE| = 4\) i pole cztery razy za małe.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij wyliczyć \(\sin\alpha\) z \(\cos\alpha\) - wielu uczniów wstawia \(\cos\alpha\) do wzoru na pole zamiast \(\sin\alpha\).

**Poprawna odpowiedź:** a) \(P_{ADE} = 12\); b) \(P_{BCED} = 42\).

### Sposób 1 - Przez wzór na pole z sinusem (metoda CKE I)
**Krok 1 - obliczamy \(|AD|\) i \(|AE|\):**
Ponieważ \(|BD| = 2|AD|\) i \(|AD| + |BD| = |AB| = 15\):
\[|AD| + 2|AD| = 15 \Rightarrow |AD| = 5.\]
Ponieważ \(|AE| = 2|CE|\) i \(|AE| + |CE| = |AC| = 12\):
\[2|CE| + |CE| = 12 \Rightarrow |CE| = 4, |AE| = 8.\]

**Krok 2 - obliczamy \(\sin\alpha\):**
Z jedynki trygonometrycznej:
\[\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \tfrac{16}{25}} = \sqrt{\tfrac{9}{25}} = \tfrac{3}{5}.\]

**Krok 3 - pole \(ABC\) i \(ADE\):**
\[P_{ABC} = \tfrac{1}{2}\cdot |AB|\cdot|AC|\cdot\sin\alpha = \tfrac{1}{2}\cdot 15\cdot 12\cdot\tfrac{3}{5} = 54.\]
\[P_{ADE} = \tfrac{1}{2}\cdot|AD|\cdot|AE|\cdot\sin\alpha = \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot\tfrac{3}{5} = 12.\]

**Krok 4 - pole \(BCED\):**
\[P_{BCED} = P_{ABC} - P_{ADE} = 54 - 12 = 42.\]

### Sposób 2 - Przez wysokość i Pitagorasa (metoda CKE II)
Prowadzimy wysokość \(CF\) z \(C\) na \(AB\). Z trójkąta \(AFC\): \(\cos\alpha = \tfrac{|AF|}{|AC|} = \tfrac{4}{5}\), więc \(|AF| = \tfrac{4}{5}\cdot 12 = \tfrac{48}{5}\).

Z twierdzenia Pitagorasa: \(|AC|^2 = |AF|^2 + |CF|^2\), więc \(h = |CF| = \sqrt{144 - \tfrac{2304}{25}} = \sqrt{\tfrac{1296}{25}} = \tfrac{36}{5}\).

\(P_{ABC} = \tfrac{1}{2}\cdot 15\cdot\tfrac{36}{5} = 54\).

Dla \(ADE\): \(|AD| = 5\), a wysokość z \(E\) na \(AB\) wynosi \(p = \tfrac{|AE|}{|AC|}\cdot h = \tfrac{8}{12}\cdot\tfrac{36}{5} = \tfrac{24}{5}\).
\(P_{ADE} = \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot\tfrac{24}{5} = 12\).
\(P_{BCED} = 54 - 12 = 42\).

### Uwagi o punktacji (CKE)
- **1 punkt**: za obliczenie \(\sin\alpha = \tfrac{3}{5}\) lub długości \(|AD| = 5\), \(|AE| = 8\).
- **2 punkty**: za obliczenie pola \(ABC\) lub wysokości trójkąta \(ADE\).
- **3 punkty**: za obliczenie pola \(ADE = 12\).
- **4 punkty**: za pełne rozwiązanie z polem czworokąta \(BCED = 42\).

**Trik:** stosunek pól podobnych trójkątów to kwadrat skali; ale tutaj \(ADE\) i \(ABC\) mają wspólny kąt \(A\), więc szybciej przez wzór \(\tfrac{1}{2}ab\sin\alpha\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/30)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F30)

## Podobne zadania

- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/7) — Zadanie 7. (5 pkt) Szkic przedstawia kanał ciepłowniczy, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem. Wewnątrz kanału znajduje się rurociąg składający się z tr
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-4) W trapezie prostokątnym 𝐴𝐵𝐶𝐷 dłuższa podstawa 𝐴𝐵 ma długość 7,5. Krótsza przekątna 𝐴𝐶 ma długość równą 6 i dzieli trapez na dwa trójkąty prost
- [Zadanie 30](https://matura.lol/question/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30) — Zadanie 30. (0-4) W trójkącie ABC dane są długości boków 15 AB i 12 AC = oraz 4 5 cosα = , gdzie BAC α =  . Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpow
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2021-marzec-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/19) — Zadanie 19. (0-3) Na rysunku przedstawiono kwadrat ABCD o polu 400 cm2. Figurę tę podzielono na kwadrat K1 o polu 49 cm2 i kwadrat K2 oraz figurę F (patrz rysun

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_