# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zadanie 31. (0-5)
Dany jest ciąg arytmetyczny (
)
n
a
określony dla każdej liczby naturalnej
1
≥
n
, w którym
1
2
3
4
2016
a
a
a
a
oraz
5
6
7
12
2016
a
a
a
a
. Oblicz pierwszy wyraz, różnicę
oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu (
)
n
a
Odpowiedź:

MMA_1P
Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, w którym a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 2016 oraz a_5 + a_6 + a_7 + + a_{12} = 2016. Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu (a_n).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź:

\(a_1 = 567\), różnica \(r = -42\), najmniejszy dodatni wyraz: \(a_{14} = 21\)

## Sposób 1 - Układ równań ze wzoru na sumę $S_n$

Oznaczamy pierwszy wyraz \(a_1\) i różnicę \(r\). Korzystamy ze wzoru:
\[S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(2a_1 + (n-1)r)}{2}\]

**Równanie I** - z warunku \(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 2016\):
\[S_4 = \frac{4(2a_1 + 3r)}{2} = 2(2a_1 + 3r) = 2016\]
\[\boxed{2a_1 + 3r = 1008} \tag{I}\]

**Równanie II** - z warunku \(a_5 + a_6 + \ldots + a_{12} = 2016\):

Ta suma to \(S_{12} - S_4\), gdzie:
\[S_{12} = \frac{12(2a_1 + 11r)}{2} = 6(2a_1 + 11r)\]
\[S_{12} - S_4 = 6(2a_1 + 11r) - 2016 = 2016\]
\[6(2a_1 + 11r) = 4032\]
\[\boxed{2a_1 + 11r = 672} \tag{II}\]

**Rozwiązujemy układ** - odejmujemy (II) od (I):
\[(2a_1 + 3r) - (2a_1 + 11r) = 1008 - 672\]
\[-8r = 336\]
\[r = -42\]

Podstawiamy do (I):
\[2a_1 + 3 \cdot (-42) = 1008\]
\[2a_1 = 1008 + 126 = 1134\]
\[a_1 = 567\]

**Wzór na wyraz ogólny:**
\[a_n = 567 + (n-1)(-42) = 567 - 42(n-1)\]

**Szukamy najmniejszego dodatniego wyrazu.** Potrzebujemy \(a_n > 0\):
\[567 - 42(n-1) > 0\]
\[42(n-1) < 567\]
\[n - 1 < \frac{567}{42} = 13{,}5\]
\[n < 14{,}5\]

Ostatni dodatni wyraz to \(a_{14}\):
\[a_{14} = 567 - 42 \cdot 13 = 567 - 546 = \mathbf{21}\]

Sprawdzamy: \(a_{15} = 567 - 42 \cdot 14 = 567 - 588 = -21 < 0\) ✓

## Sposób 2 - Własność „środkowego wyrazu" sumy

W ciągu arytmetycznym suma \(k\) kolejnych wyrazów wynosi \(k\) razy wyraz środkowy (lub średnia dwóch środkowych, gdy \(k\) parzyste).

**Suma 4 wyrazów** \(a_1 + a_2 + a_3 + a_4\):

Wyrazy środkowe to \(a_2\) i \(a_3\), więc:
\[4 \cdot \frac{a_2 + a_3}{2} = 2(a_2 + a_3) = 2016 \implies a_2 + a_3 = 1008\]
\[(a_1 + r) + (a_1 + 2r) = 1008\]
\[2a_1 + 3r = 1008 \tag{I}\]

**Suma 8 wyrazów** \(a_5 + a_6 + \ldots + a_{12}\):

Wyrazy środkowe to \(a_8\) i \(a_9\), więc:
\[8 \cdot \frac{a_8 + a_9}{2} = 4(a_8 + a_9) = 2016 \implies a_8 + a_9 = 504\]
\[(a_1 + 7r) + (a_1 + 8r) = 504\]
\[2a_1 + 15r = 504 \tag{II}\]

Odejmujemy (I) - (II):
\[(2a_1 + 3r) - (2a_1 + 15r) = 1008 - 504\]
\[-12r = 504 \implies r = -42\]

\[2a_1 = 1008 - 3(-42) = 1134 \implies a_1 = 567\]

Wyniki zgodne - **metoda środkowego wyrazu daje prostszy układ**.

**Weryfikacja:**
- \(a_1 + \ldots + a_4 = 4 \cdot 567 + (0+1+2+3)(-42) = 2268 - 252 = 2016\) ✓
- \(a_5 + \ldots + a_{12}\): \(a_5 = 399\), \(a_{12} = 105\), suma \(= \frac{8(399+105)}{2} = 4 \cdot 504 = 2016\) ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\[a_n = a_1 + (n-1)r\]
Użyliśmy przy wyznaczaniu \(a_{14}\) i weryfikacji.

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego:
\[S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\]
Użyliśmy do zapisania obu warunków jako równań z dwiema niewiadomymi \((a_1, r)\).

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Warunek drugi dotyczy wyrazów **od \(a_5\) do \(a_{12}\)** - to **8 wyrazów**, nie 7! Łatwo pomylić zakres i policzyć \(S_{11} - S_4\) zamiast \(S_{12} - S_4\).

> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \(r = -42\) jest ujemna - ciąg jest malejący. Szukamy **najmniejszego dodatniego**, więc to **ostatni wyraz przed przejściem przez zero**, czyli \(a_{14} = 21\). Mylny odruch to szukanie \(a_1\) lub pierwszego wyrazu.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy nierówności \(n < 14{,}5\) - ponieważ \(n\) musi być liczbą naturalną, bierzemy \(n = 14\). Nie zaokrąglamy do 15!

**Poprawna odpowiedź:** \(a_{1} = 567\), \(r = -42\), najmniejszy dodatni wyraz: \(a_{14} = 21\).

### Sposób 1 - Układ dwóch równań (metoda CKE I)
Z warunków zadania: \(S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 2016\) oraz \(a_5 + a_6 + \ldots + a_{12} = 2016\).

Wyraziwszy każdy wyraz przez \(a_1\) i \(r\):
\[a_1 + (a_1+r) + (a_1+2r) + (a_1+3r) = 4a_1 + 6r = 2016,\]
\[(a_1+4r) + (a_1+5r) + \ldots + (a_1+11r) = 8a_1 + 60r = 2016.\]

Dzielimy przez \(2\):
\[2a_1 + 3r = 1008 \quad (1)\]
\[2a_1 + 15r = 504 \quad (2)\]

Odejmujemy \((1)\) od \((2)\): \(12r = -504 \Rightarrow r = -42\).

Z \((1)\): \(2a_1 + 3\cdot(-42) = 1008 \Rightarrow 2a_1 = 1134 \Rightarrow a_1 = 567\).

### Sposób 2 - Przez sumy \(S_4\) i \(S_{12}\) (metoda CKE III)
Sumując oba warunki: \(S_{12} = 4032\). Ze wzoru na sumę:
\[S_4 = \dfrac{a_1 + a_4}{2}\cdot 4 = 2016 \Rightarrow a_1 + a_4 = 1008.\]
\[S_{12} = \dfrac{a_1 + a_{12}}{2}\cdot 12 = 4032 \Rightarrow a_1 + a_{12} = 672.\]

Wyrażamy: \(a_4 = a_1 + 3r\), \(a_{12} = a_1 + 11r\):
\[2a_1 + 3r = 1008,\]
\[2a_1 + 11r = 672.\]

Odejmujemy: \(8r = -336 \Rightarrow r = -42\). Następnie \(a_1 = 567\).

### Wyznaczenie najmniejszego dodatniego wyrazu
Wzór ogólny: \(a_n = 567 + (n-1)\cdot(-42) = 609 - 42n\).

Warunek \(a_n > 0\):
\[609 - 42n > 0 \Rightarrow n < \dfrac{609}{42} = 14{,}5.\]

Ponieważ \(r = -42 < 0\), ciąg jest malejący. Największe \(n\), dla którego \(a_n > 0\), to \(n = 14\):
\[a_{14} = 609 - 42\cdot 14 = 609 - 588 = 21.\]

Sprawdzenie: \(a_{15} = 21 - 42 = -21 < 0\). ✓

### Uwagi o punktacji (CKE)
- **1 punkt**: za zapisanie jednego równania z wyrazów ciągu.
- **2 punkty**: za zapisanie układu dwóch równań.
- **3 punkty**: za zapisanie układu umożliwiającego obliczenie \(a_1\) i \(r\).
- **4 punkty**: za obliczenie \(a_1 = 567\), \(r = -42\).
- **5 punktów**: za pełne rozwiązanie z najmniejszym dodatnim wyrazem \(a_{14} = 21\).

**Pułapka:** druga suma zawiera **8** wyrazów (od \(a_5\) do \(a_{12}\)), a nie 12. Typowy błąd!

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 14](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/14) — Zadanie 14. (0-6) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 a
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Ciąg ( ) , 4, , a b c jest arytmetyczny, a ciąg ( ) , , 4 a a b c jest geometryczny. Oblicz a, b i c. Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wy
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Ciąg (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu 𝑎6 = 15 oraz 𝑎15 = 𝑎3 ⋅(𝑎8 -6). Ciąg (𝑏𝑛), okre

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_