# Matematyka — zadanie 32

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/32
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Stereometria

## Treść

Zadanie 32. (0-4)
Dany jest stożek o objętości 8π , w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest
równy 3:8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.
Odpowiedź:

MMA_1P
Dany jest stożek o objętości 8π, w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy 3:8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(2\pi\sqrt{73}\)

## Sposób 1 - Parametryzacja przez iloraz proporcji

**Wprowadzamy parametr \(k\).**

Skoro stosunek wysokości do promienia to \(3:8\), piszemy:
\[h = 3k, \quad r = 8k \quad \text{dla pewnego } k > 0\]

**Krok 1: Wyznaczamy \(k\) z objętości.**

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]
\[8\pi = \frac{1}{3}\pi (8k)^2 \cdot 3k\]
\[8\pi = \frac{1}{3}\pi \cdot 64k^2 \cdot 3k\]
\[8\pi = 64\pi k^3\]
\[k^3 = \frac{8}{64} = \frac{1}{8}\]
\[k = \frac{1}{2}\]

**Krok 2: Wyznaczamy wymiary stożka.**

\[r = 8k = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\]
\[h = 3k = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\]

**Krok 3: Obliczamy tworzącą (apotema boczna) \(l\).**

\[l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{4^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{16 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{64}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{73}{4}} = \frac{\sqrt{73}}{2}\]

**Krok 4: Obliczamy pole powierzchni bocznej.**

\[P_b = \pi r l = \pi \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{73}}{2} = \boxed{2\pi\sqrt{73}}\]

## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie objętości

Mamy \(r = 4\), \(h = \frac{3}{2}\). Sprawdzamy, czy objętość się zgadza:

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{48\pi}{2} = \frac{1}{3} \cdot 24\pi = 8\pi \checkmark\]

Sprawdzamy stosunek \(h : r\):

\[\frac{h}{r} = \frac{\frac{3}{2}}{4} = \frac{3}{8} \checkmark\]

Tworzącą liczymy z Pitagorasa, bez upraszczania pośrednio:

\[l^2 = r^2 + h^2 = 16 + \frac{9}{4} = \frac{73}{4} \implies l = \frac{\sqrt{73}}{2}\]

\[P_b = \pi \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{73}}{2} = 2\pi\sqrt{73} \checkmark\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni bocznej stożka:
\[P_b = \pi r l\]
gdzie \(r\) - promień podstawy, \(l\) - tworzącą (długość boku stożka). Użyliśmy w Kroku 4.

**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość stożka:
\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]
Użyliśmy w Kroku 1 do wyznaczenia parametru \(k\).

**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa w przekroju osiowym:
\[l = \sqrt{r^2 + h^2}\]
Użyliśmy w Kroku 3. Tworzącą stożka to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o nogach \(r\) i \(h\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| B | Policzono pole **całkowite** \(P_c = \pi r(r + l)\) zamiast tylko bocznego \(\pi r l\) |
| C | Wzięto stosunek \(h:r = 8:3\) (odwrócono proporcję) - zamiana \(h\) z \(r\) daje inny \(k\) |
| D | Zapomniano pierwiastkować \(l^2\) - wstawiono \(l^2\) zamiast \(l\) do wzoru na pole boczne |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek \(h:r = 3:8\) to **nie** \(h=3, r=8\) - to by był przypadek szczególny. Zawsze wprowadzaj parametr \(k\) i wyznaczaj go z warunku dodatkowego (tu: objętość).

> ⚠️ **Uwaga:** Tworzącą \(l\) liczymy z Pitagorasa: \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\), nie \(l = h\)! Wielu uczniów mylnie wstawia do wzoru na \(P_b\) wysokość zamiast tworzącą.

> ⚠️ **Uwaga:** Pole **boczne** \(P_b = \pi r l\) to nie to samo co pole **całkowite** \(P_c = \pi r(r+l)\). Zadanie pyta o pole boczne - nie dodajemy podstawy!

**Poprawna odpowiedź:** \(P_{b} = 2\sqrt{73}\pi\).

### Sposób 1 - Z objętości i stosunku (metoda CKE)
**Krok 1 - zależność z objętości:**
\[V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = 8\pi \Rightarrow r^2 h = 24.\]

**Krok 2 - stosunek wysokości do promienia:**
\[\dfrac{h}{r} = \dfrac{3}{8} \Rightarrow h = \dfrac{3}{8}r.\]

**Krok 3 - znalezienie \(r\):**
Podstawiamy do \(r^2 h = 24\):
\[r^2\cdot\dfrac{3}{8}r = 24 \Rightarrow r^3 = \dfrac{24\cdot 8}{3} = 64 \Rightarrow r = 4.\]
Zatem \(h = \dfrac{3}{8}\cdot 4 = \dfrac{3}{2}\).

**Krok 4 - tworząca \(l\) (z Pitagorasa):**
\[l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{16 + \dfrac{9}{4}} = \sqrt{\dfrac{73}{4}} = \dfrac{\sqrt{73}}{2}.\]

**Krok 5 - pole powierzchni bocznej:**
\[P_b = \pi r l = \pi\cdot 4\cdot\dfrac{\sqrt{73}}{2} = 2\sqrt{73}\pi.\]

### Uwagi o punktacji (CKE)
- **1 punkt**: za zapisanie zależności \(\tfrac{h}{r} = \tfrac{3}{8}\) lub \(r^2 h = 24\).
- **2 punkty**: za zapisanie równania z jedną niewiadomą.
- **3 punkty**: za obliczenie \(r = 4\), \(h = \tfrac{3}{2}\).
- **4 punkty**: za obliczenie \(P_b = 2\sqrt{73}\pi\).

**Trik:** wzór na pole powierzchni bocznej stożka to \(P_b = \pi r l\), gdzie \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\) z karty wzorów CKE.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/32)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F32)

## Podobne zadania

- [Zadanie 24](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/24) — Zadanie 24. (0-4) Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościa
- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (0-4) Tworząca stożka ma długość 8. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 120°. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego stożka. EMAP-P0_100 
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Dany jest stożek o objętości 8π , w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy 3:8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożk
- [Zadanie 25](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/25) — Zadanie 25. (0-3) Tworząca stożka ma długość 8. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 120°. Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia. 25. 0-1- 2-3 MMAP-P0_10

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_