# Matematyka — zadanie 33 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/33 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa) - rok: 2016 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 4 - działy: Równania i nierówności, średnia, statystyka ## Treść Zadanie 33. (0-4) Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o 10% większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o 10% mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o 12 minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek? Odpowiedź: MMA_1P BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o 10\% większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o 10% mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o 12 minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek? ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: 54 minuty Przelot nad Austrią we wtorek trwał **54 minuty**. ## Sposób 1 - Przez planowy czas przelotu **Wprowadzamy zmienne:** Niech: - \(v\) - planowa prędkość przelotowa, - \(d\) - odległość trasy nad Austrią (stała). **Prędkości w poszczególne dni:** \[v_{\text{wt}} = 1{,}1v \qquad (\text{o 10\% więcej})\] \[v_{\text{czw}} = 0{,}9v \qquad (\text{o 10\% mniej})\] **Czasy przelotu:** \[t_{\text{wt}} = \frac{d}{1{,}1v}, \qquad t_{\text{czw}} = \frac{d}{0{,}9v}\] Czwartek jest wolniejszy, więc trwał dłużej. Różnica wynosi 12 minut: \[t_{\text{czw}} - t_{\text{wt}} = 12\] \[\frac{d}{0{,}9v} - \frac{d}{1{,}1v} = 12\] **Wyciągamy \(\frac{d}{v}\) przed nawias:** \[\frac{d}{v} \cdot \left(\frac{1}{0{,}9} - \frac{1}{1{,}1}\right) = 12\] Przeliczamy różnicę ułamków (zamieniamy na ułamki zwykłe): \[\frac{1}{0{,}9} = \frac{10}{9}, \qquad \frac{1}{1{,}1} = \frac{10}{11}\] \[\frac{10}{9} - \frac{10}{11} = \frac{110 - 90}{99} = \frac{20}{99}\] **Wyznaczamy planowy czas przelotu \(\frac{d}{v}\):** \[\frac{d}{v} \cdot \frac{20}{99} = 12\] \[\frac{d}{v} = 12 \cdot \frac{99}{20} = \frac{1188}{20} = 59{,}4 \text{ min}\] **Obliczamy czas wtorkowy:** \[t_{\text{wt}} = \frac{d}{1{,}1v} = \frac{59{,}4}{1{,}1} = \boxed{54 \text{ minuty}}\] ## Sposób 2 - Przez oznaczenie czasu wtorkowego **Niech \(t\) będzie czasem przelotu we wtorek (w minutach).** Skoro we wtorek prędkość była o 10% większa od planowej, to czas przelotu był o pewien czynnik mniejszy. Piszemy: \[t_{\text{wt}} = \frac{d}{1{,}1v}, \qquad \Rightarrow \qquad d = 1{,}1v \cdot t\] W czwartek prędkość wynosi \(0{,}9v\), więc: \[t_{\text{czw}} = \frac{d}{0{,}9v} = \frac{1{,}1v \cdot t}{0{,}9v} = \frac{1{,}1}{0{,}9} \cdot t = \frac{11}{9} \cdot t\] **Różnica czasów:** \[\frac{11}{9}t - t = 12\] \[\frac{11t - 9t}{9} = 12\] \[\frac{2t}{9} = 12\] \[t = 12 \cdot \frac{9}{2} = 54\] **Czas przelotu we wtorek: \(\mathbf{t = 54}\) minuty.** ✓ **Weryfikacja:** czas w czwartek \(= \frac{11}{9} \cdot 54 = 66\) min, różnica \(= 66 - 54 = 12\) min ✓ ## Wzory z karty CKE W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe zależności: \[v = \frac{d}{t} \quad \Longrightarrow \quad t = \frac{d}{v}\] oraz działania na ułamkach. Nie korzystamy ze wzorów z żadnego z 17 działów karty. ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Pokusa, by odpowiedzieć 66 minut - to jest czas czwartkowy, a pytanie dotyczy wtorkowego! > ⚠️ **Uwaga:** Pułapka symetrii - uczniowie myślą, że skoro prędkość różni się symetrycznie o 10%, to czasy też będą różnić się symetrycznie. To nieprawda! Zależność \(t = \frac{d}{v}\) jest **odwrotnie proporcjonalna**, więc efekty są asymetryczne: \(\frac{11}{9} \neq \frac{9}{11}\). > ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj, że „różnił się o 12 minut" oznacza, że wtorek trwał dłużej. Zawsze sprawdź, który dzień ma wolniejszą prędkość - tam czas jest dłuższy. Tutaj czwartek (prędkość \(0{,}9v\)) trwa dłużej niż wtorek (prędkość \(1{,}1v\)). **Poprawna odpowiedź:** przelot we wtorek trwał \(54\) minuty (czyli \(0{,}9\) godziny). ### Sposób 1 - Przez układ równań (metoda CKE) Oznaczmy: - \(v\) - zakładana prędkość przelotowa, - \(s\) - długość trasy nad Austrią, - \(t\) - czas przelotu we wtorek (w minutach). We wtorek: prędkość \(1{,}1v\), czas \(t\), więc \(1{,}1v\cdot t = s\). W czwartek: prędkość \(0{,}9v\), czas \(t + 12\) (o \(12\) minut dłużej, bo mniejsza prędkość = dłuższy czas), więc \(0{,}9v\cdot(t + 12) = s\). Przyrównujemy: \[1{,}1v\cdot t = 0{,}9v\cdot(t + 12).\] Dzielimy obie strony przez \(v\) (prędkość jest dodatnia): \[1{,}1t = 0{,}9(t + 12),\] \[11t = 9(t + 12),\] \[11t = 9t + 108,\] \[2t = 108,\] \[t = 54.\] **Zatem czas przelotu nad Austrią we wtorek wynosił \(54\) minuty** (czyli \(0{,}9\) godziny). ### Sposób 2 - Sprawdzenie W czwartek: \(t + 12 = 66\) minut. Prędkości: \(1{,}1v\) vs \(0{,}9v\). Stosunek prędkości: \(\tfrac{1{,}1v}{0{,}9v} = \tfrac{11}{9}\). Stosunek czasów (odwrotny): \(\tfrac{9}{11}\). Sprawdzamy: \(\tfrac{54}{66} = \tfrac{9}{11}\). ✓ ### Uwagi o punktacji (CKE) - **1 punkt**: za zapisanie jednego równania opisującego zależność prędkości i czasu. - **2 punkty**: za zapisanie obu równań z układu. - **3 punkty**: za zapisanie równania z jedną niewiadomą \(t\): \(11t = 9(t+12)\). - **4 punkty**: za obliczenie czasu przelotu \(t = 54\) minuty (lub \(0{,}9\) godziny). **Uwaga CKE:** błędny model (np. "wzrost prędkości o 10% odpowiada skróceniu czasu o 10%") daje \(0\) punktów. **Trik:** przy stałej drodze \(s = v\cdot t\), więc \(v_1 t_1 = v_2 t_2\) - produkt prędkości razy czas jest stały. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/33) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F33) ## Podobne zadania - [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (6 pkt) Rozwiąż nierówność ( ) 0 4 2 2 < x Podaj wszystkie rozwiązania równania 3 2 6 4 24 0 x x x , które należą do zbioru rozwiązań tej nierówności - [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (6 pkt) Dane są zbiory liczb rzeczywistych: { } : 2 3 A x x 〈 ( ) { } 3 3 2 : 2 1 8 13 6 3 B x x x x x ≤ Zapisz w postaci przedziałów liczbowych zbio - [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (0-5) Rozwiąż nierówność 𝒙-𝟏 𝒙𝟐-𝟒- 𝟏 𝟐-𝒙≥ 𝟑 𝟐+ 𝒙+ 𝟐 Zapisz obliczenia. 8. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 - [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (5 pkt) Grupa znajomych wyjeżdżających na biwak wynajęła bus. Koszt wynajęcia busa jest równy 960 złotych i tę kwotę rozłożono po równo pomiędzy ucz _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_